Привет! 👋 Давайте решим задачу по теории вероятностей. Начнем с вычисления математического ожидания $M(X)$.

Задание 1: Найти M(X)

Математическое ожидание случайной величины $X$, заданной плотностью вероятности $f(x)$, вычисляется по формуле:

$M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$

В нашем случае, плотность вероятности задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \
\frac{x}{2}, & 0 \le x \le 2 \
0, & x > 2
\end{cases}$

Поэтому интеграл для математического ожидания будет вычисляться только на интервале $[0, 2]$:

$M(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx$

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}$

Тогда:

$M(X) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$

Таким образом, математическое ожидание случайной величины $X$ равно $\frac{4}{3}$.

Отлично! Теперь перейдем к вычислению дисперсии $D(X)$.

Задание 2: Найти D(X)

Дисперсия случайной величины $X$ вычисляется по формуле:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$

Мы уже знаем $M(X) = \frac{4}{3}$. Теперь нужно найти $M(X^2)$:

$M(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx$

В нашем случае:

$M(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^3 dx$

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} x^3 dx = \frac{x^4}{4} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Тогда:

$M(X^2) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Теперь вычислим дисперсию:

$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 2 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{18}{9} - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$

Таким образом, дисперсия случайной величины $X$ равна $\frac{2}{9}$.

Привет! 👋 Давай решим задачу 21. Нам нужно найти начальные моменты первого и второго порядков для дискретной случайной величины X, заданной законом распределения.

Задание 21: Найти начальные моменты первого и второго порядков

Начальный момент k-го порядка определяется как $v_k = M(X^k)$.

1. Начальный момент первого порядка ($v_1$): Это просто математическое ожидание $M(X)$.

   $v_1 = M(X) = \sum_{i} x_i p_i$

   В нашем случае:

   $v_1 = (3 \cdot 0.2) + (5 \cdot 0.8) = 0.6 + 4 = 4.6$

2. Начальный момент второго порядка ($v_2$): Это математическое ожидание $M(X^2)$.

   $v_2 = M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i$

   В нашем случае:

   $v_2 = (3^2 \cdot 0.2) + (5^2 \cdot 0.8) = (9 \cdot 0.2) + (25 \cdot 0.8) = 1.8 + 20 = 21.8$

Таким образом, начальные моменты:

• Начальный момент первого порядка: $v_1 = 4.6$
• Начальный момент второго порядка: $v_2 = 21.8$

Привет! 👋 Давай разберем это задание по теории вероятностей.

Задание 21

Нужно найти начальные моменты первого и второго порядков для дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

Начальный момент k-го порядка ($\nu_k$) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
$\nu_k = M(X^k) = \sum_{i} x_i^k p_i$

Где:
* $M(X^k)$ - математическое ожидание $X^k$
* $x_i$ - значения случайной величины
* $p_i$ - соответствующие вероятности

🔢 Шаг 1: Вычисление начального момента первого порядка ($\nu_1$)

Начальный момент первого порядка - это математическое ожидание случайной величины $M(X)$.

$\nu_1 = M(X^1) = M(X) = \sum_{i} x_i^1 p_i$

Подставим значения из таблицы:
$\nu_1 = (3^1 \times 0.2) + (5^1 \times 0.8)$
$\nu_1 = (3 \times 0.2) + (5 \times 0.8)$
$\nu_1 = 0.6 + 4.0$
$\nu_1 = 4.6$

🔢 Шаг 2: Вычисление начального момента второго порядка ($\nu_2$)

Начальный момент второго порядка - это математическое ожидание квадрата случайной величины $M(X^2)$.

$\nu_2 = M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i$

Подставим значения из таблицы:
$\nu_2 = (3^2 \times 0.2) + (5^2 \times 0.8)$
$\nu_2 = (9 \times 0.2) + (25 \times 0.8)$
$\nu_2 = 1.8 + 20.0$
$\nu_2 = 21.8$

✅ Ответ:

Начальный момент первого порядка: $\nu_1 = 4.6$
Начальный момент второго порядка: $\nu_2 = 21.8$

Привет! 👋 Теперь давай решим задачу 22. Нам нужно найти центральный момент второго порядка для дискретной случайной величины X, заданной законом распределения из предыдущего примера.

Задание 22: Найти центральный момент второго порядка

Центральный момент второго порядка (дисперсия) определяется как $μ_2 = M[(X - M(X))^2]$.

Мы уже знаем $M(X) = ν_1 = 4.6$.

$μ_2 = \sum_{i} (x_i - M(X))^2 p_i$

В нашем случае:

$μ_2 = (3 - 4.6)^2 \cdot 0.2 + (5 - 4.6)^2 \cdot 0.8$

$μ_2 = (-1.6)^2 \cdot 0.2 + (0.4)^2 \cdot 0.8$

$μ_2 = 2.56 \cdot 0.2 + 0.16 \cdot 0.8$

$μ_2 = 0.512 + 0.128$

$μ_2 = 0.64$

Таким образом, центральный момент второго порядка равен 0.64.

Привет! Давайте решим задачу 24.

Задание 24

Случайная величина $X$ задана функцией распределения:

$F(x) = \begin{cases}
0, & x \le 2 \
\frac{x}{2} - 1, & 2 < x \le 4 \
1, & x > 4
\end{cases}$

Необходимо найти вероятность того, что в результате испытания $X$ примет значение, заключенное в интервале $(2; 3)$.

Решение:

Вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(a; b]$ можно найти по формуле:

$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$

В нашем случае $a = 2$ и $b = 3$. Подставим значения в функцию распределения:

$F(3) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$F(2) = 0$

Тогда вероятность равна:

$P(2 < X \le 3) = F(3) - F(2) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: Вероятность того, что случайная величина $X$ примет значение в интервале $(2; 3)$, равна 0.5.