Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 1

Необходимо установить соответствие между функциями и их производными.

1. $f(x) = x^3 + \ln x$

   • Производная $x^3$ равна $3x^2$.
   • Производная $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$.
   • Следовательно, $f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{x}$.
   • Соответствует варианту A.

2. $f(x) = \ln(3x - 1)$

   • Производная $\ln(u)$ равна $\frac{u'}{u}$.
   • В данном случае $u = 3x - 1$, поэтому $u' = 3$.
   • Следовательно, $f'(x) = \frac{3}{3x - 1}$.
   • Соответствует варианту Б.

3. $f(x) = x^3 \cdot \ln x$

   • Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
   • $u = x^3$, $u' = 3x^2$.
   • $v = \ln x$, $v' = \frac{1}{x}$.
   • Следовательно, $f'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \cdot \ln x + x^2$.
   • Соответствует варианту B.

Ответ:
1 - A, 2 - Б, 3 - B

Задание 2

Найти дифференциал функции $y = 5 \sin(3x)$.

• Дифференциал функции $y = f(x)$ равен $dy = f'(x) dx$.
• Производная $y' = 5 \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 15 \cos(3x)$.
• Следовательно, $dy = 15 \cos(3x) dx$.

Ответ:
A) $dy = 15 \cos(3x) dx$

Задание 3

Найти множество всех первообразных функции $y = 2e^x$.

• Первообразная $e^x$ это $e^x$.
• Первообразная $2e^x$ это $2e^x + C$, где $C$ - константа интегрирования.

Ответ:
В) $2e^x + C$