Задание 91-100a: Вычислить неопределенный интеграл $\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Решение:

1. Замена переменной:
   Пусть $t = \arcsin{x}$, тогда $dt = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$.

2. Преобразование интеграла:
   Интеграл преобразуется в $\int (t+1) dt$.

3. Вычисление интеграла:
   $\int (t+1) dt = \int t dt + \int 1 dt = \frac{t^2}{2} + t + C$, где $C$ - константа интегрирования.

4. Возврат к исходной переменной:
   Заменяем $t$ на $\arcsin{x}$, получаем $\frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C$.

Ответ: $\frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C$

Задание 91-100b: Вычислить неопределенный интеграл $\int \cos^2{x} \sin^4{x} dx$

Решение:

1. Преобразование подынтегральной функции:
   Используем тригонометрические тождества:
   $\cos^2{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2}$ и $\sin^2{x} = \frac{1 - \cos{2x}}{2}$.
   Тогда $\sin^4{x} = (\sin^2{x})^2 = (\frac{1 - \cos{2x}}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x}}{4}$.
   $\cos^2{x} \sin^4{x} = \frac{1 + \cos{2x}}{2} \cdot \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x}}{4} = \frac{1 - 2\cos{2x} + \cos^2{2x} + \cos{2x} - 2\cos^2{2x} + \cos^3{2x}}{8} = \frac{1 - \cos{2x} - \cos^2{2x} + \cos^3{2x}}{8}$.

2. Дальнейшее преобразование:
   Используем $\cos^2{2x} = \frac{1 + \cos{4x}}{2}$ и $\cos^3{2x} = \cos{2x}(1 - \sin^2{2x})$.
   $\frac{1 - \cos{2x} - \frac{1 + \cos{4x}}{2} + \cos{2x}(1 - \sin^2{2x})}{8} = \frac{1 - \cos{2x} - \frac{1}{2} - \frac{\cos{4x}}{2} + \cos{2x} - \cos{2x}\sin^2{2x}}{8} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\cos{4x}}{2} - \cos{2x}\sin^2{2x}}{8} = \frac{1}{16} - \frac{\cos{4x}}{16} - \frac{\cos{2x}\sin^2{2x}}{8}$.

3. Вычисление интеграла:
   $\int \cos^2{x} \sin^4{x} dx = \int (\frac{1}{16} - \frac{\cos{4x}}{16} - \frac{\cos{2x}\sin^2{2x}}{8}) dx = \frac{1}{16} \int dx - \frac{1}{16} \int \cos{4x} dx - \frac{1}{8} \int \cos{2x}\sin^2{2x} dx$.
   $\int dx = x + C_1$.
   $\int \cos{4x} dx = \frac{1}{4} \sin{4x} + C_2$.
   Для $\int \cos{2x}\sin^2{2x} dx$ сделаем замену $u = \sin{2x}$, $du = 2\cos{2x} dx$, тогда $\frac{1}{2} \int u^2 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^3}{3} + C_3 = \frac{\sin^3{2x}}{6} + C_3$.
   Итого: $\frac{1}{16}x - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} \sin{4x} - \frac{1}{8} \cdot \frac{\sin^3{2x}}{6} + C = \frac{x}{16} - \frac{\sin{4x}}{64} - \frac{\sin^3{2x}}{48} + C$.

Ответ: $\frac{x}{16} - \frac{\sin{4x}}{64} - \frac{\sin^3{2x}}{48} + C$

Задание 91-100a: Вычислить неопределенный интеграл $\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

Решение:

Для решения данного интеграла воспользуемся методом замены переменной, который позволяет упростить интеграл, сведя его к более простому виду.

1. Анализ интеграла:
   Обратим внимание на знаменатель $\sqrt{1-x^2}$. Это выражение связано с производной функции $\arcsin{x}$, так как $\frac{d}{dx}(\arcsin{x}) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

2. Замена переменной:
   Введем новую переменную $t = \arcsin{x}$. Тогда:
   - $x = \sin{t}$ (выражаем исходную переменную)
   - $dx = \cos{t}\,dt$ (дифференцируем обе части)
   - $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2{t}} = \sqrt{\cos^2{t}} = |\cos{t}| = \cos{t}$ (так как в области определения $\arcsin{x}$ косинус положителен)

3. Преобразование интеграла:
   Подставляем новую переменную в исходный интеграл:
   $\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{t+1}{\cos{t}} \cos{t}\,dt = \int (t+1)\,dt$

4. Вычисление полученного интеграла:
   $\int (t+1)\,dt = \int t\,dt + \int 1\,dt = \frac{t^2}{2} + t + C$

Здесь мы использовали правила:
- $\int (f(x) + g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$ (линейность интеграла)
- $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ при $n \neq -1$ (в нашем случае $n = 1$)
- $\int 1\,dx = x + C$ (интегрирование константы)

5. Возврат к исходной переменной:
   Заменяем $t$ обратно на $\arcsin{x}$:
   $\frac{t^2}{2} + t + C = \frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C$

Проверка решения:

Дифференцируя полученный ответ, мы должны получить исходное подынтегральное выражение:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C\right) = \arcsin{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\arcsin{x} + 1}{\sqrt{1-x^2}}$

Что совпадает с исходным выражением, подтверждая правильность нашего решения.

Ответ: $\int \frac{\arcsin{x}+1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{(\arcsin{x})^2}{2} + \arcsin{x} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.