Задание 1: Вычислить предел функции: $\lim_{\substack{x \to 1 \ y \to -3}} \frac{\ln(3+x^2 + y)}{2+y+x^2}$. Ответ записать цифрой.

Решение:

1. Подставим значения $x=1$ и $y=-3$ в выражение:
   $\frac{\ln(3+1^2 + (-3))}{2+(-3)+1^2} = \frac{\ln(3+1-3)}{2-3+1} = \frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$

2. Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Это означает, что нужно преобразовать выражение или использовать правило Лопиталя.

3. Поскольку предел берется при $x \to 1$ и $y \to -3$, рассмотрим функцию $f(x, y) = \frac{\ln(3+x^2 + y)}{2+y+x^2}$.

4. Применим правило Лопиталя. Однако, здесь у нас функция двух переменных, поэтому нужно рассмотреть предел вдоль некоторой траектории. В данном случае, проще всего подставить значения и посмотреть, что получится.

5. Заметим, что если $x \to 1$ и $y \to -3$, то $3 + x^2 + y \to 3 + 1 - 3 = 1$, и $2 + y + x^2 \to 2 - 3 + 1 = 0$. Поэтому у нас есть неопределенность вида $\frac{\ln(1)}{0} = \frac{0}{0}$.

6. Попробуем рассмотреть предел, когда $y = -3 + k(x-1)$, где $k$ - некоторая константа. Тогда:
   $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(3+x^2 - 3 + k(x-1))}{2 - 3 + k(x-1) + x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x^2 + k(x-1))}{x^2 + k(x-1) - 1}$

7. Используем разложение в ряд Тейлора для $\ln(1+z) \approx z$ при $z \to 0$. В нашем случае, $z = x^2 + k(x-1) - 1$. Тогда:
   $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + k(x-1) - 1}{x^2 + k(x-1) - 1} = \lim_{x \to 1} 1 = 1$

8. Таким образом, предел равен 1.

Ответ: 1

Задание 2: Вычислить предел функции: $\lim_{\substack{x \to 0 \ y \to 0}} (x-y)^2 \cdot \sin(\frac{1}{x+y}) \cdot \cos(\frac{x}{x-y})$. Ответ записать цифрой.

Решение:

1. Рассмотрим функцию $f(x, y) = (x-y)^2 \cdot \sin(\frac{1}{x+y}) \cdot \cos(\frac{x}{x-y})$.

2. Оценим каждый множитель в выражении.

3. $(x-y)^2 \to (0-0)^2 = 0$ при $x \to 0$ и $y \to 0$.

4. $\sin(\frac{1}{x+y})$ - это синус от некоторой величины, поэтому $-1 \le \sin(\frac{1}{x+y}) \le 1$.

5. $\cos(\frac{x}{x-y})$ - это косинус от некоторой величины, поэтому $-1 \le \cos(\frac{x}{x-y}) \le 1$.

6. Таким образом, мы имеем произведение:
   $f(x, y) = (x-y)^2 \cdot \sin(\frac{1}{x+y}) \cdot \cos(\frac{x}{x-y})$
   где $(x-y)^2 \to 0$, а $\sin(\frac{1}{x+y})$ и $\cos(\frac{x}{x-y})$ ограничены.

7. Следовательно, предел произведения равен 0, так как произведение стремится к нулю, умноженному на ограниченные величины.

8. $\lim_{\substack{x \to 0 \ y \to 0}} (x-y)^2 \cdot \sin(\frac{1}{x+y}) \cdot \cos(\frac{x}{x-y}) = 0$

Ответ: 0