{
"subject": "Дифференциальные уравнения",
"lang": "ru",
"grade": 0,
"url_subject": "math",
"title": "Решение различных типов дифференциальных уравнений",
"description": "Подробный разбор семи различных дифференциальных уравнений, включая уравнения первого и второго порядка, линейные и нелинейные уравнения",
"keywords": ["дифференциальные уравнения", "уравнения первого порядка", "уравнения второго порядка", "линейные дифференциальные уравнения", "математический анализ", "высшая математика"]
}

Давайте разберем первое уравнение подробно! 🎓

1) $\sin y \ln(2x + 5)dx - (2x + 5)\cos ydy = 0$

Это дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных.

1. Сгруппируем члены с dx и dy:
   $\sin y \ln(2x + 5)dx = (2x + 5)\cos ydy$

2. Разделим переменные:
   $\frac{\ln(2x + 5)}{2x + 5}dx = \frac{\cos y}{\sin y}dy$

3. Упростим правую часть:
   $\frac{\ln(2x + 5)}{2x + 5}dx = d(\ln|\sin y|)$

4. Интегрируем обе части:
   $\int\frac{\ln(2x + 5)}{2x + 5}dx = \ln|\sin y| + C$

5. Левая часть интегрируется по частям, получаем:
   $\ln|\ln(2x + 5)| = \ln|\sin y| + C$

6. После потенцирования:
   $\ln(2x + 5) = A\sin y$, где $A = ±e^C$

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Хотите, чтобы я продолжил с остальными уравнениями? 📚

Давайте я объясню решение более подробно и понятно! 🎓

Дано уравнение: $\sin y \ln(2x + 5)dx - (2x + 5)\cos ydy = 0$

Разберем решение пошагово:

1️⃣ Для начала нам нужно разделить переменные. Это означает, что все члены с x должны быть с одной стороны, а все члены с y - с другой.

Переносим второй член вправо:
$\sin y \ln(2x + 5)dx = (2x + 5)\cos ydy$

2️⃣ Теперь делим обе части:
- слева делим на $(2x + 5)$
- справа делим на $\sin y$

Получаем: $\frac{\ln(2x + 5)}{2x + 5}dx = \frac{\cos y}{\sin y}dy$

3️⃣ Важный момент! Правая часть $\frac{\cos y}{\sin y}dy$ - это не что иное, как дифференциал от натурального логарифма синуса:
$\frac{\cos y}{\sin y}dy = d(\ln|\sin y|)$

Это можно проверить, если вспомнить правило дифференцирования сложной функции:
$\frac{d}{dy}\ln|\sin y| = \frac{1}{\sin y} \cdot \cos y$

4️⃣ После этого уравнение принимает вид:
$\frac{\ln(2x + 5)}{2x + 5}dx = d(\ln|\sin y|)$

5️⃣ Интегрируем обе части:
$\int\frac{\ln(2x + 5)}{2x + 5}dx = \ln|\sin y| + C$

6️⃣ После интегрирования левой части получаем:
$\ln|\ln(2x + 5)| = \ln|\sin y| + C$

7️⃣ Применяем к обеим частям экспоненту (потенцирование):
$e^{\ln|\ln(2x + 5)|} = e^{\ln|\sin y| + C}$
$|\ln(2x + 5)| = e^C|\sin y|$

Окончательно: $\ln(2x + 5) = A\sin y$, где $A = ±e^C$ - произвольная константа

Для проверки решения можно подставить полученное выражение в исходное уравнение и убедиться, что оно удовлетворяет ему.

Теперь решение стало понятнее? 📝

Давайте разберем решение второго дифференциального уравнения 📚

$y' = \frac{y}{x} + \frac{1 + y^2/x^2}{\operatorname{arctg}(y/x)}$

1️⃣ Сделаем замену переменной для упрощения:
Пусть $z = \frac{y}{x}$, тогда $y = xz$

2️⃣ Найдем $y'$ через новую переменную:
$y' = z + xz'$ (по правилу дифференцирования произведения)

3️⃣ Подставим в исходное уравнение:
$z + xz' = z + \frac{1 + z^2}{\operatorname{arctg}(z)}$

4️⃣ Упростим:
$xz' = \frac{1 + z^2}{\operatorname{arctg}(z)}$

5️⃣ Разделяем переменные:
$\frac{\operatorname{arctg}(z)}{1 + z^2}dz = \frac{dx}{x}$

6️⃣ Интегрируем обе части:
$\int\frac{\operatorname{arctg}(z)}{1 + z^2}dz = \ln|x| + C$

7️⃣ Левая часть интегрируется с помощью замены переменных:
$\frac{1}{2}\ln(1 + z^2) = \ln|x| + C$

8️⃣ После преобразований:
$1 + z^2 = Ax^2$, где $A = e^{2C}$

9️⃣ Возвращаемся к исходной переменной:
$1 + (\frac{y}{x})^2 = Ax^2$

🔟 Окончательное решение:
$y = ±x\sqrt{Ax^2 - 1}$, где $A$ - произвольная положительная константа

Проверка: Подставляя полученное решение в исходное уравнение, можно убедиться в его правильности.

Это решение показывает, что функция $y(x)$ представляет собой семейство кривых, зависящих от параметра $A$. 📝

Давайте решим третье дифференциальное уравнение 📝

$xy' - y = x^2\sin x$

1️⃣ Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно $y$.
Запишем его в стандартной форме:
$y' - \frac{1}{x}y = x\sin x$

2️⃣ Для решения используем метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

3️⃣ Сначала решаем однородное уравнение:
$y' - \frac{1}{x}y = 0$
$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
$\ln|y| = \ln|x| + C$
$y = Cx$, где C - константа

4️⃣ Ищем частное решение в виде $y = C(x)x$
Подставляем в исходное уравнение:
$xC'(x) + C(x) - C(x) = x\sin x$
$xC'(x) = x\sin x$
$C'(x) = \sin x$

5️⃣ Интегрируем:
$C(x) = -\cos x + A$

6️⃣ Таким образом, общее решение:
$y = x(-\cos x + A)$, где A - произвольная константа

7️⃣ Проверка:
Подставим решение в исходное уравнение:
- $y = x(-\cos x + A)$
- $y' = -\cos x + A + x\sin x$
- $xy' - y = x(-\cos x + A + x\sin x) - x(-\cos x + A) = x^2\sin x$

✅ Проверка подтверждает правильность решения.

Итак, $y = x(-\cos x + A)$ - это общее решение данного дифференциального уравнения, где A - произвольная постоянная интегрирования.

Решение представляет собой семейство кривых, зависящих от параметра A. При различных значениях A получаются различные частные решения уравнения. 📚