Задание 1: Решить в натуральных числах уравнение $49x^2y^2 + 52(x^2y + 1) = 49x(x^2y + 1)$. В ответе записать $x^y + y^x$.

Решение:

1. Преобразуем уравнение:
   $49x^2y^2 + 52x^2y + 52 = 49x^3y + 49x$
   $49x^2y^2 - 49x^3y + 52x^2y - 49x + 52 = 0$

2. Перегруппируем слагаемые:
   $49x^2y(y - x) + 52(x^2y + 1) - 49x = 0$

3. Выразим уравнение относительно $y$:
   $49x^2y^2 + 52x^2y + 52 = 49x^3y + 49x$
   $y(49x^2y + 52x^2 - 49x^3) = 49x - 52$
   $y = \frac{49x - 52}{49x^2y + 52x^2 - 49x^3}$

4. Рассмотрим случай $x = 1$:
   $49y^2 + 52(y + 1) = 49(y + 1)$
   $49y^2 + 52y + 52 = 49y + 49$
   $49y^2 + 3y + 3 = 0$
   Это уравнение не имеет решений в натуральных числах.

5. Рассмотрим случай $x = 2$:
   $49 \cdot 4y^2 + 52(4y + 1) = 49 \cdot 2(4y + 1)$
   $196y^2 + 208y + 52 = 392y + 98$
   $196y^2 - 184y - 46 = 0$
   $98y^2 - 92y - 23 = 0$
   Это уравнение также не имеет решений в натуральных числах.

6. Рассмотрим случай $x=4$:
   $49 \cdot 16 y^2 + 52(16y + 1) = 49 \cdot 4(16y + 1)$
   $784y^2 + 832y + 52 = 3136y + 196$
   $784y^2 - 2304y - 144 = 0$
   $49y^2 - 144y - 9 = 0$
   $D = 144^2 - 4 \cdot 49 \cdot (-9) = 20736 + 1764 = 22500 = 150^2$
   $y = \frac{144 \pm 150}{98}$
   $y_1 = \frac{294}{98} = 3$
   $y_2 = \frac{-6}{98} < 0$
   Итак, $x = 4, y = 3$.

7. Проверим решение $x = 4, y = 3$:
   $49 \cdot 16 \cdot 9 + 52(16 \cdot 3 + 1) = 49 \cdot 4(16 \cdot 3 + 1)$
   $7056 + 52(49) = 196(49)$
   $7056 + 2548 = 9604$
   $9604 = 9604$
   Решение верно.

8. Вычислим $x^y + y^x$:
   $4^3 + 3^4 = 64 + 81 = 145$

Ответ: 145