Задание

Найти производную функции $y = \ln(\sin x)$.

Решение

Для нахождения производной функции $y = \ln(\sin x)$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).

Представим нашу функцию как композицию двух функций:
- Внешняя функция: $f(u) = \ln u$
- Внутренняя функция: $u = \sin x$

Производная внешней функции $f'(u) = \frac{1}{u}$

Производная внутренней функции $u' = (\sin x)' = \cos x$

По правилу дифференцирования сложной функции:
$y' = f'(u) \cdot u' = \frac{1}{u} \cdot u'$

Подставляем наши функции:
$y' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

Ответ: $y' = \cot x$