Задание 2:

Дано: $v(t) = 3t^2 - 4t + 2$ м/с, $x(1) = 5$.

Найти: $x(t)$.

Решение:

1. Найдем уравнение движения $x(t)$, интегрируя скорость $v(t)$ по времени $t$:
   $x(t) = \int v(t) dt = \int (3t^2 - 4t + 2) dt = t^3 - 2t^2 + 2t + C$, где $C$ - константа интегрирования.

2. Используем начальное условие $x(1) = 5$ для определения константы $C$:
   $5 = (1)^3 - 2(1)^2 + 2(1) + C$
   $5 = 1 - 2 + 2 + C$
   $5 = 1 + C$
   $C = 4$

3. Подставим найденное значение $C$ в уравнение движения:
   $x(t) = t^3 - 2t^2 + 2t + 4$

Ответ: $x(t) = t^3 - 2t^2 + 2t + 4$

Задание 3a:

Вычислить неопределенный интеграл: $\int -15x^2 dx$

Решение:

1. Применим правило интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ - константа интегрирования.

2. Вынесем константу за знак интеграла: $\int -15x^2 dx = -15 \int x^2 dx$

3. Применим правило интегрирования степенной функции:
   $-15 \int x^2 dx = -15 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = -15 \cdot \frac{x^3}{3} + C = -5x^3 + C$

Ответ: $\int -15x^2 dx = -5x^3 + C$

Задание 3b:

Вычислить неопределенный интеграл: $\int (6e^x - 2\cos x + 5) dx$

Решение:

1. Применим правило интегрирования суммы/разности: $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$

2. Разделим интеграл на сумму интегралов:
   $\int (6e^x - 2\cos x + 5) dx = \int 6e^x dx - \int 2\cos x dx + \int 5 dx$

3. Вынесем константы за знак интеграла:
   $6 \int e^x dx - 2 \int \cos x dx + 5 \int dx$

4. Вычислим каждый интеграл по отдельности:
   * $\int e^x dx = e^x + C_1$
   * $\int \cos x dx = \sin x + C_2$
   * $\int dx = x + C_3$

5. Подставим результаты в исходное выражение:
   $6e^x - 2\sin x + 5x + C$, где $C = 6C_1 - 2C_2 + 5C_3$ - общая константа интегрирования.

Ответ: $\int (6e^x - 2\cos x + 5) dx = 6e^x - 2\sin x + 5x + C$

Задание 3c:

Вычислить неопределенный интеграл: $\int \sin 3x dx$

Решение:

1. Используем замену переменной: $u = 3x$, тогда $du = 3 dx$, и $dx = \frac{1}{3} du$.

2. Подставим замену в интеграл:
   $\int \sin 3x dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sin u du$

3. Вычислим интеграл: $\frac{1}{3} \int \sin u du = \frac{1}{3} (-\cos u) + C = -\frac{1}{3} \cos u + C$

4. Вернемся к исходной переменной: $-\frac{1}{3} \cos u + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$

Ответ: $\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3} \cos 3x + C$