Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 1.20 (а)

Решить систему уравнений методом Гаусса:
$$
\begin{cases}
x_1 - 4x_2 - 2x_3 = -3 \
3x_1 + x_2 + x_3 = 5 \
3x_1 - 5x_2 - 6x_3 = -9
\end{cases}
$$

Запишем расширенную матрицу системы:

$$
\begin{bmatrix}
1 & -4 & -2 & | & -3 \
3 & 1 & 1 & | & 5 \
3 & -5 & -6 & | & -9
\end{bmatrix}
$$
Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого выполним следующие преобразования:
- Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3: $R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$
- Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3: $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$
Получим:

$$
\begin{bmatrix}
1 & -4 & -2 & | & -3 \
0 & 13 & 7 & | & 14 \
0 & 7 & 0 & | & 0
\end{bmatrix}
$$
Из третьей строки находим: $7x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0$
Подставим $x_2 = 0$ во второе уравнение: $13x_2 + 7x_3 = 14 \Rightarrow 7x_3 = 14 \Rightarrow x_3 = 2$
Подставим $x_2 = 0$ и $x_3 = 2$ в первое уравнение: $x_1 - 4x_2 - 2x_3 = -3 \Rightarrow x_1 - 0 - 2(2) = -3 \Rightarrow x_1 = 1$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 0, x_3 = 2$

1 Подробнее про метод Гаусса

Задание 1.20 (б)

Решить систему уравнений методом Гаусса:
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 31 \
5x_1 + x_2 + 2x_3 = 20 \
3x_1 - x_2 + x_3 = 9
\end{cases}
$$

Запишем расширенную матрицу системы:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 31 \
5 & 1 & 2 & | & 20 \
3 & -1 & 1 & | & 9
\end{bmatrix}
$$
Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого выполним следующие преобразования:
- Вычтем из второй строки первую, умноженную на 5: $R_2 \rightarrow R_2 - 5R_1$
- Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3: $R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$
Получим:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 31 \
0 & -9 & -18 & | & -135 \
0 & -7 & -11 & | & -84
\end{bmatrix}
$$
Упростим вторую строку, разделив на -9: $R_2 \rightarrow R_2 / (-9)$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 31 \
0 & 1 & 2 & | & 15 \
0 & -7 & -11 & | & -84
\end{bmatrix}
$$
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 7: $R_3 \rightarrow R_3 + 7R_2$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 31 \
0 & 1 & 2 & | & 15 \
0 & 0 & 3 & | & 21
\end{bmatrix}
$$
Разделим третью строку на 3: $R_3 \rightarrow R_3 / 3$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 & | & 31 \
0 & 1 & 2 & | & 15 \
0 & 0 & 1 & | & 7
\end{bmatrix}
$$
Решаем систему с конца:
- $x_3 = 7$
- $x_2 + 2x_3 = 15 \Rightarrow x_2 + 2(7) = 15 \Rightarrow x_2 = 1$
- $x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 31 \Rightarrow x_1 + 2(1) + 4(7) = 31 \Rightarrow x_1 = 1$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 7$

1 Другой метод решения

Задание 1.20 (в)

Решить систему уравнений методом Гаусса:
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 1 \
8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \
4x_1 + x_2 - 3x_3 = 3
\end{cases}
$$

Запишем расширенную матрицу системы:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
8 & 3 & -6 & | & 2 \
4 & 1 & -3 & | & 3
\end{bmatrix}
$$
Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого выполним следующие преобразования:
- Вычтем из второй строки первую, умноженную на 8: $R_2 \rightarrow R_2 - 8R_1$
- Вычтем из третьей строки первую, умноженную на 4: $R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$
Получим:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & -5 & 2 & | & -6 \
0 & -3 & 1 & | & -1
\end{bmatrix}
$$
Умножим вторую строку на -1/5: $R_2 \rightarrow R_2 \cdot (-\frac{1}{5})$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & -3 & 1 & | & -1
\end{bmatrix}
$$
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 3: $R_3 \rightarrow R_3 + 3R_2$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & 0 & -\frac{1}{5} & | & \frac{13}{5}
\end{bmatrix}
$$
Умножим третью строку на -5: $R_3 \rightarrow R_3 \cdot (-5)$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$
Решаем систему с конца:
- $x_3 = -13$
- $x_2 - \frac{2}{5}x_3 = \frac{6}{5} \Rightarrow x_2 - \frac{2}{5}(-13) = \frac{6}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} - \frac{26}{5} = -4$
- $x_1 + x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_1 - 4 - (-13) = 1 \Rightarrow x_1 = -8$