Здравствуйте! Я Homiwork, ваш ИИ-ассистент. Сейчас я помогу вам решить эти задачи методом Гаусса. Начнем с первой системы уравнений.

Задание 1

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
3x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 = 12 \
x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 14 \
5x_1 - x_2 + x_3 - 4x_4 = -4 \
2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - x_4 = 13
\end{cases}
$$

Решение:

1. Запишем расширенную матрицу системы:

   $$
   \begin{bmatrix}
   3 & 2 & -1 & 2 & | & 12 \
   1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
   5 & -1 & 1 & -4 & | & -4 \
   2 & 3 & -2 & -1 & | & 13
   \end{bmatrix}
   $$

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

   • Поменяем местами первую и вторую строки:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     3 & 2 & -1 & 2 & | & 12 \
     5 & -1 & 1 & -4 & | & -4 \
     2 & 3 & -2 & -1 & | & 13
     \end{bmatrix}
     $$

   • Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3; из третьей строки первую, умноженную на 5; из четвертой строки первую, умноженную на 2:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & -4 & 5 & -7 & | & -30 \
     0 & -11 & 11 & -19 & | & -74 \
     0 & -1 & 2 & -7 & | & -15
     \end{bmatrix}
     $$

   • Поменяем местами вторую и четвертую строки:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & -1 & 2 & -7 & | & -15 \
     0 & -11 & 11 & -19 & | & -74 \
     0 & -4 & 5 & -7 & | & -30
     \end{bmatrix}
     $$

   • Умножим вторую строку на -1:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & 1 & -2 & 7 & | & 15 \
     0 & -11 & 11 & -19 & | & -74 \
     0 & -4 & 5 & -7 & | & -30
     \end{bmatrix}
     $$

   • Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 11; прибавим к четвертой строке вторую, умноженную на 4:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & 1 & -2 & 7 & | & 15 \
     0 & 0 & -11 & 58 & | & 91 \
     0 & 0 & -3 & 21 & | & 30
     \end{bmatrix}
     $$

   • Разделим третью строку на -11:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & 1 & -2 & 7 & | & 15 \
     0 & 0 & 1 & -\frac{58}{11} & | & -\frac{91}{11} \
     0 & 0 & -3 & 21 & | & 30
     \end{bmatrix}
     $$

   • Прибавим к четвертой строке третью, умноженную на 3:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & 1 & -2 & 7 & | & 15 \
     0 & 0 & 1 & -\frac{58}{11} & | & -\frac{91}{11} \
     0 & 0 & 0 & \frac{63}{11} & | & \frac{63}{11}
     \end{bmatrix}
     $$

   • Умножим четвертую строку на $\frac{11}{63}$:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 2 & -2 & 3 & | & 14 \
     0 & 1 & -2 & 7 & | & 15 \
     0 & 0 & 1 & -\frac{58}{11} & | & -\frac{91}{11} \
     0 & 0 & 0 & 1 & | & 1
     \end{bmatrix}
     $$

3. Решим систему уравнений, начиная с последнего уравнения:

   • $x_4 = 1$
   • $x_3 - \frac{58}{11}x_4 = -\frac{91}{11} \Rightarrow x_3 = -\frac{91}{11} + \frac{58}{11} = -\frac{33}{11} = -3$
   • $x_2 - 2x_3 + 7x_4 = 15 \Rightarrow x_2 = 15 + 2(-3) - 7 = 15 - 6 - 7 = 2$
   • $x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 14 \Rightarrow x_1 = 14 - 2(2) + 2(-3) - 3 = 14 - 4 - 6 - 3 = 1$

Ответ:

$$
\begin{cases}
x_1 = 1 \
x_2 = 2 \
x_3 = -3 \
x_4 = 1
\end{cases}
$$

В векторной форме: $X = (1, 2, -3, 1)$.

Задание 2

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 2 \
2x_1 - x_2 - x_3 + 4x_4 = 3 \
3x_1 - 2x_2 + x_3 + 7x_4 = 5 \
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3
\end{cases}
$$

Решение:

1. Запишем расширенную матрицу системы:

   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & -1 & 2 & 3 & | & 2 \
   2 & -1 & -1 & 4 & | & 3 \
   3 & -2 & 1 & 7 & | & 5 \
   1 & 1 & 1 & 1 & | & 3
   \end{bmatrix}
   $$

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

   • Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2; из третьей строки первую, умноженную на 3; из четвертой строки первую:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & -1 & 2 & 3 & | & 2 \
     0 & 1 & -5 & -2 & | & -1 \
     0 & 1 & -5 & -2 & | & -1 \
     0 & 2 & -1 & -2 & | & 1
     \end{bmatrix}
     $$

   • Вычтем из третьей строки вторую; вычтем из четвертой строки вторую, умноженную на 2:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & -1 & 2 & 3 & | & 2 \
     0 & 1 & -5 & -2 & | & -1 \
     0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \
     0 & 0 & 9 & 2 & | & 3
     \end{bmatrix}
     $$

   • Поменяем местами третью и четвертую строки:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & -1 & 2 & 3 & | & 2 \
     0 & 1 & -5 & -2 & | & -1 \
     0 & 0 & 9 & 2 & | & 3 \
     0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
     \end{bmatrix}
     $$

3. Выразим переменные через свободные переменные.

   • Пусть $x_4 = C$, где $C$ - произвольная константа.
   • Тогда из третьего уравнения: $9x_3 + 2x_4 = 3 \Rightarrow 9x_3 = 3 - 2C \Rightarrow x_3 = \frac{3 - 2C}{9}$
   • Из второго уравнения: $x_2 - 5x_3 - 2x_4 = -1 \Rightarrow x_2 = -1 + 5x_3 + 2x_4 = -1 + 5\left(\frac{3 - 2C}{9}\right) + 2C = -1 + \frac{15 - 10C}{9} + 2C = \frac{-9 + 15 - 10C + 18C}{9} = \frac{6 + 8C}{9}$
   • Из первого уравнения: $x_1 - x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 2 \Rightarrow x_1 = 2 + x_2 - 2x_3 - 3x_4 = 2 + \frac{6 + 8C}{9} - 2\left(\frac{3 - 2C}{9}\right) - 3C = 2 + \frac{6 + 8C - 6 + 4C}{9} - 3C = 2 + \frac{12C}{9} - 3C = \frac{18 + 12C - 27C}{9} = \frac{18 - 15C}{9} = \frac{6 - 5C}{3}$

Ответ:

$$
\begin{cases}
x_1 = \frac{6 - 5C}{3} \
x_2 = \frac{6 + 8C}{9} \
x_3 = \frac{3 - 2C}{9} \
x_4 = C
\end{cases}
$$

В векторной форме: $X = \left(\frac{-5C+6}{3}, \frac{8C+6}{9}, \frac{-2C+3}{9}, C\right)$.

Задание 3

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 4x_2 - x_3 + 6x_4 = 2 \
3x_1 + 5x_2 + x_3 - 2x_4 = 1 \
5x_1 + 13x_2 - x_3 + 10x_4 = 5 \
2x_1 + x_2 + 2x_3 - 8x_4 = -1
\end{cases}
$$

Решение:

1. Запишем расширенную матрицу системы:

   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 4 & -1 & 6 & | & 2 \
   3 & 5 & 1 & -2 & | & 1 \
   5 & 13 & -1 & 10 & | & 5 \
   2 & 1 & 2 & -8 & | & -1
   \end{bmatrix}
   $$

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

   • Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3; из третьей строки первую, умноженную на 5; из четвертой строки первую, умноженную на 2:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 4 & -1 & 6 & | & 2 \
     0 & -7 & 4 & -20 & | & -5 \
     0 & -7 & 4 & -20 & | & -5 \
     0 & -7 & 4 & -20 & | & -5
     \end{bmatrix}
     $$

   • Вычтем из третьей строки вторую; вычтем из четвертой строки вторую:

     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 4 & -1 & 6 & | & 2 \
     0 & -7 & 4 & -20 & | & -5 \
     0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \
     0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
     \end{bmatrix}
     $$

3. Выразим переменные через свободные переменные.

   • Пусть $x_3 = C_1$ и $x_4 = C_2$, где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы.
   • Тогда из второго уравнения: $-7x_2 + 4x_3 - 20x_4 = -5 \Rightarrow -7x_2 = -5 - 4C_1 + 20C_2 \Rightarrow x_2 = \frac{5 + 4C_1 - 20C_2}{7}$
   • Из первого уравнения: $x_1 + 4x_2 - x_3 + 6x_4 = 2 \Rightarrow x_1 = 2 - 4x_2 + x_3 - 6x_4 = 2 - 4\left(\frac{5 + 4C_1 - 20C_2}{7}\right) + C_1 - 6C_2 = \frac{14 - 20 - 16C_1 + 80C_2 + 7C_1 - 42C_2}{7} = \frac{-6 - 9C_1 + 38C_2}{7}$

Ответ:

$$
\begin{cases}
x_1 = \frac{-6 - 9C_1 + 38C_2}{7} \
x_2 = \frac{5 + 4C_1 - 20C_2}{7} \
x_3 = C_1 \
x_4 = C_2
\end{cases}
$$

В векторной форме: $X = \left(\frac{-9C_1-4C_2+3}{4}, C_1, \frac{7C_1+20C_2-5}{4}, C_2\right)$.

Ассистент: Конечно, продолжим решать оставшиеся задачи.

Задание 4

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
6x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5 = 5 \
4x_1 + 2x_2 + x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 4 \
4x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + x_5 = 0 \
2x_1 + x_2 + 7x_3 + 3x_4 + 5x_5 = 1
\end{cases}
$$

Решение:

1. Запишем расширенную матрицу системы:

   $$
   \begin{bmatrix}
   6 & 3 & 2 & 3 & 4 & | & 5 \
   4 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 4 \
   4 & 2 & 3 & 2 & 1 & | & 0 \
   2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1
   \end{bmatrix}
   $$

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

   • Поменяем местами первую и четвертую строки:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     4 & 2 & 1 & 2 & 3 & | & 4 \
     4 & 2 & 3 & 2 & 1 & | & 0 \
     6 & 3 & 2 & 3 & 4 & | & 5
     \end{bmatrix}
     $$

   • Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2; из третьей строки первую, умноженную на 2; из четвертой строки первую, умноженную на 3:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & -13 & -4 & -7 & | & 2 \
     0 & 0 & -11 & -4 & -9 & | & -2 \
     0 & 0 & -19 & -6 & -11 & | & 2
     \end{bmatrix}
     $$

   • Поменяем местами второй и третьей строки:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & -11 & -4 & -9 & | & -2 \
     0 & 0 & -13 & -4 & -7 & | & 2 \
     0 & 0 & -19 & -6 & -11 & | & 2
     \end{bmatrix}
     $$

   • Умножим вторую строку на $-\frac{1}{11}$:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & 1 & \frac{4}{11} & \frac{9}{11} & | & \frac{2}{11} \
     0 & 0 & -13 & -4 & -7 & | & 2 \
     0 & 0 & -19 & -6 & -11 & | & 2
     \end{bmatrix}
     $$

   • Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на 13; прибавим к четвертой строке вторую, умноженную на 19:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & 1 & \frac{4}{11} & \frac{9}{11} & | & \frac{2}{11} \
     0 & 0 & 0 & \frac{8}{11} & \frac{40}{11} & | & \frac{48}{11} \
     0 & 0 & 0 & \frac{2}{11} & \frac{64}{11} & | & \frac{60}{11}
     \end{bmatrix}
     $$

   • Умножим третью строку на $\frac{11}{8}$:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & 1 & \frac{4}{11} & \frac{9}{11} & | & \frac{2}{11} \
     0 & 0 & 0 & 1 & 5 & | & 6 \
     0 & 0 & 0 & \frac{2}{11} & \frac{64}{11} & | & \frac{60}{11}
     \end{bmatrix}
     $$

   • Вычтем из четвертой строки третью, умноженную на $\frac{2}{11}$:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & 1 & \frac{4}{11} & \frac{9}{11} & | & \frac{2}{11} \
     0 & 0 & 0 & 1 & 5 & | & 6 \
     0 & 0 & 0 & 0 & \frac{54}{11} & | & \frac{48}{11}
     \end{bmatrix}
     $$

   • Умножим четвертую строку на $\frac{11}{54}$:

     $$
     \begin{bmatrix}
     2 & 1 & 7 & 3 & 5 & | & 1 \
     0 & 0 & 1 & \frac{4}{11} & \frac{9}{11} & | & \frac{2}{11} \
     0 & 0 & 0 & 1 & 5 & | & 6 \
     0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{9}
     \end{bmatrix}
     $$

3. Выразим переменные через свободные переменные.

   • Пусть $x_2 = C_1$, где $C_1$ - произвольная константа.
   • Тогда из четвертого уравнения: $x_5 = \frac{8}{9}$
   • Из третьего уравнения: $x_4 + 5x_5 = 6 \Rightarrow x_4 = 6 - 5x_5 = 6 - 5\left(\frac{8}{9}\right) = 6 - \frac{40}{9} = \frac{54 - 40}{9} = \frac{14}{9}$
   • Из второго уравнения: $x_3 + \frac{4}{11}x_4 + \frac{9}{11}x_5 = \frac{2}{11} \Rightarrow x_3 = \frac{2}{11} - \frac{4}{11}x_4 - \frac{9}{11}x_5 = \frac{2}{11} - \frac{4}{11}\left(\frac{14}{9}\right) - \frac{9}{11}\left(\frac{8}{9}\right) = \frac{2}{11} - \frac{56}{99} - \frac{8}{11} = \frac{18 - 56 - 72}{99} = \frac{-110}{99} = -\frac{10}{9}$
   • Из первого уравнения: $2x_1 + x_2 + 7x_3 + 3x_4 + 5x_5 = 1 \Rightarrow 2x_1 = 1 - x_2 - 7x_3 - 3x_4 - 5x_5 = 1 - C_1 - 7\left(-\frac{10}{9}\right) - 3\left(\frac{14}{9}\right) - 5\left(\frac{8}{9}\right) = 1 - C_1 + \frac{70}{9} - \frac{42}{9} - \frac{40}{9} = \frac{9 - 9C_1 + 70 - 42 - 40}{9} = \frac{-9C_1 - 3}{9} = \frac{-3C_1 - 1}{3} \Rightarrow x_1 = \frac{-3C_1 - 1}{6}$

Ответ:

$$
\begin{cases}
x_1 = \frac{-3C_1 - 1}{6} \
x_2 = C_1 \
x_3 = -\frac{10}{9} \
x_4 = \frac{14}{9} \
x_5 = \frac{8}{9}
\end{cases}
$$

В векторной форме: $X = \left(\frac{-3C_1 - 1}{6}, C_1, -\frac{10}{9}, \frac{14}{9}, \frac{8}{9}\right)$.

Ассистент: Конечно, вот матрицы в столбцах, как вы просили.

Задание 1

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
3x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 = 12 \
x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 14 \
5x_1 - x_2 + x_3 - 4x_4 = -4 \
2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - x_4 = 13
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix}
$$

Задание 2

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 2 \
2x_1 - x_2 - x_3 + 4x_4 = 3 \
3x_1 - 2x_2 + x_3 + 7x_4 = 5 \
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} \frac{-5C+6}{3} \ \frac{8C+6}{9} \ \frac{-2C+3}{9} \ C \end{pmatrix}
$$

Задание 3

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 4x_2 - x_3 + 6x_4 = 2 \
3x_1 + 5x_2 + x_3 - 2x_4 = 1 \
5x_1 + 13x_2 - x_3 + 10x_4 = 5 \
2x_1 + x_2 + 2x_3 - 8x_4 = -1
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} \frac{-9C_1 - 38C_2 - 6}{7} \ \frac{4C_1 - 20C_2 + 5}{7} \ C_1 \ C_2 \end{pmatrix}
$$

Задание 4

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
6x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5 = 5 \
4x_1 + 2x_2 + x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 4 \
4x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + x_5 = 0 \
2x_1 + x_2 + 7x_3 + 3x_4 + 5x_5 = 1
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} \frac{-C_1 - 1}{2} \ C_1 \ -\frac{10}{9} \ \frac{14}{9} \ \frac{8}{9} \end{pmatrix}
$$

Ассистент: К сожалению, я не могу отправлять файлы или изображения. Я могу предоставить вам текстовые решения и ответы в формате Markdown. Если вам нужно сохранить их, вы можете скопировать текст и вставить его в текстовый редактор, а затем сохранить как документ.

Вот решения в векторной форме, как вы просили:

Задание 1

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
3x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 = 12 \
x_1 + 2x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 14 \
5x_1 - x_2 + x_3 - 4x_4 = -4 \
2x_1 + 3x_2 - 2x_3 - x_4 = 13
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ -3 \ 1 \end{pmatrix}
$$

Задание 2

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 - x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 2 \
2x_1 - x_2 - x_3 + 4x_4 = 3 \
3x_1 - 2x_2 + x_3 + 7x_4 = 5 \
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 3
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} \frac{-5C+6}{3} \ \frac{8C+6}{9} \ \frac{-2C+3}{9} \ C \end{pmatrix}
$$

Задание 3

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
x_1 + 4x_2 - x_3 + 6x_4 = 2 \
3x_1 + 5x_2 + x_3 - 2x_4 = 1 \
5x_1 + 13x_2 - x_3 + 10x_4 = 5 \
2x_1 + x_2 + 2x_3 - 8x_4 = -1
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} \frac{-9C_1 - 38C_2 - 6}{7} \ \frac{4C_1 - 20C_2 + 5}{7} \ C_1 \ C_2 \end{pmatrix}
$$

Задание 4

Система уравнений:
$$
\begin{cases}
6x_1 + 3x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5 = 5 \
4x_1 + 2x_2 + x_3 + 2x_4 + 3x_5 = 4 \
4x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 2x_4 + x_5 = 0 \
2x_1 + x_2 + 7x_3 + 3x_4 + 5x_5 = 1
\end{cases}
$$

Решение:

Векторное представление решения:
$$
X = \begin{pmatrix} \frac{-C_1 - 1}{2} \ C_1 \ -\frac{10}{9} \ \frac{14}{9} \ \frac{8}{9} \end{pmatrix}
$$