Конечно, давай решим эти задания.
Задание №1: Выполнить действия с матрицами
Дано:
$C = A \cdot B^T - 3B$, где $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 5 & -2 \end{pmatrix}$
-
Найдем $B^T$ (транспонированная матрица B):
$B^T = \begin{pmatrix} -1 & 5 \ 1 & -2 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $A \cdot B^T$:
$A \cdot B^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 5 \ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 5 + 2 \cdot (-2) \ 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 5 + 4 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 7 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $3B$:
$3B = 3 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \ 15 & -6 \end{pmatrix}$
-
Вычислим $C = A \cdot B^T - 3B$:
$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 3 \ 15 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-3) & 1 - 3 \ 1 - 15 & 7 - (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -14 & 13 \end{pmatrix}$
Задание №2: Вычислить определители
а) $\begin{vmatrix} 12 & -9 \ 0 & -5 \end{vmatrix} = (12 \cdot (-5)) - (-9 \cdot 0) = -60 - 0 = -60$
б) $\begin{vmatrix} 1 & -8 & 4 \ 0 & 5 & 3 \ 1 & 1 & 7 \end{vmatrix}$
Разложим по первой строке:
$1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \ 1 & 7 \end{vmatrix} - (-8) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 1 & 7 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 5 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 7 - 3 \cdot 1) + 8 \cdot (0 \cdot 7 - 3 \cdot 1) + 4 \cdot (0 \cdot 1 - 5 \cdot 1) = 1 \cdot (35 - 3) + 8 \cdot (0 - 3) + 4 \cdot (0 - 5) = 32 - 24 - 20 = -12$
Задание №3: Решить системы методом Крамера
а) $\begin{cases} 2x - 3y = 5 \ x - 6y = -2 \end{cases}$
Определитель основной матрицы:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \ 1 & -6 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-6)) - (-3 \cdot 1) = -12 + 3 = -9$
Определитель для x:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -3 \ -2 & -6 \end{vmatrix} = (5 \cdot (-6)) - (-3 \cdot (-2)) = -30 - 6 = -36$
Определитель для y:
$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2 \cdot (-2)) - (5 \cdot 1) = -4 - 5 = -9$
$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-36}{-9} = 4$
$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-9}{-9} = 1$
Решение: $x = 4, y = 1$
б) $\begin{cases} x + y + 4z = 1 \ -3x - y + 2z = 27 \ x + 5y - z = -5 \end{cases}$
Определитель основной матрицы:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \ -3 & -1 & 2 \ 1 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \ 1 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -1 \ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - 10) - 1 \cdot (3 - 2) + 4 \cdot (-15 + 1) = -9 - 1 - 56 = -66$
Определитель для x:
$\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \ 27 & -1 & 2 \ -5 & 5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \ 5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 27 & 2 \ -5 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 27 & -1 \ -5 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 - 10) - 1 \cdot (-27 + 10) + 4 \cdot (135 - 5) = -9 + 17 + 520 = 528$
Определитель для y:
$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \ -3 & 27 & 2 \ 1 & -5 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 27 & 2 \ -5 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 2 \ 1 & -1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 27 \ 1 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-27 + 10) - 1 \cdot (3 - 2) + 4 \cdot (15 - 27) = -17 - 1 - 48 = -66$
Определитель для z:
$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ -3 & -1 & 27 \ 1 & 5 & -5 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 27 \ 5 & -5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 27 \ 1 & -5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -1 \ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 - 135) - 1 \cdot (15 - 27) + 1 \cdot (-15 + 1) = -130 + 12 - 14 = -132$
$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{528}{-66} = -8$
$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-66}{-66} = 1$
$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-132}{-66} = 2$
Решение: $x = -8, y = 1, z = 2$
