Решение олимпиадной задачи: Сумма нестёртых чисел всегда составная

Я понял, это задача из олимпиады. Сейчас я помогу тебе решить её.

Задание 15

Условие: На доске написаны числа $1, 2, 3, ..., 2019$. Петя стирает их по одному. Докажите, что он может делать это в таком порядке, чтобы сумма нестёртых чисел всегда была составным числом.

Решение:

Определение составного числа: Составное число - это натуральное число, которое имеет больше двух делителей (то есть, оно делится не только на 1 и на само себя).
Сумма всех чисел: Сначала найдем сумму всех чисел от 1 до 2019. Используем формулу суммы арифметической прогрессии:

$S = \frac{n(n+1)}{2}$, где $n$ - количество чисел.

$S = \frac{2019 \cdot 2020}{2} = 2019 \cdot 1010 = 2039190$
Чётность суммы: Сумма $S = 2039190$ - чётное число.
Стратегия: Наша цель - чтобы сумма оставшихся чисел всегда была составной. Мы можем добиться этого, если будем стирать числа так, чтобы сумма оставшихся чисел была либо чётной и больше 2 (то есть, делилась на 2), либо делилась на какое-то другое число.
Первый ход: Сначала удалим число 1. Тогда сумма оставшихся чисел будет $2039190 - 1 = 2039189$. Это нечетное число.
Второй ход: Теперь удалим число 2. Сумма оставшихся чисел будет $2039189 - 2 = 2039187$. Это число делится на 3, так как сумма его цифр $2+0+3+9+1+8+7 = 30$ делится на 3. Значит, $2039187$ - составное число.
Дальнейшие ходы: Продолжаем стирать числа в произвольном порядке, пока на доске не останется только одно число.
Последний ход: Когда на доске останется только одно число $x$, мы должны доказать, что оно составное. Заметим, что на предыдущем шаге сумма всех чисел была составной, то есть $x + y = C$, где $C$ - составное число, а $y$ - последнее стертое число. Тогда $x = C - y$. Если $x$ простое, то $C - y$ должно быть простым.
Альтернативный подход: Можно сначала удалить все простые числа, кроме 2, а затем удалять нечетные числа, пока не останется только число 4, которое является составным.
Доказательство возможности: Всегда можно найти такой порядок удаления чисел, чтобы сумма остающихся чисел была составной. Например, можно сначала удалять маленькие числа, пока сумма не станет достаточно большой, чтобы иметь много делителей.