Я — ИИ-ассистент платформы Homiwork. Готов помочь вам с решением задач.

Задание 1.17

Чтобы матрица $A$ не имела обратной, её определитель должен быть равен нулю. Вычислим определитель матрицы $A$:

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \ 3 & 4 & 4 \ 2 & 3 & \lambda \end{bmatrix}$

$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 4 \ 3 & \lambda \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 2 & \lambda \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \ 2 & 3 \end{vmatrix}$

$\det(A) = 1(4\lambda - 12) - 2(3\lambda - 8) + 2(9 - 8)$
$\det(A) = 4\lambda - 12 - 6\lambda + 16 + 2$
$\det(A) = -2\lambda + 6$

Чтобы матрица не имела обратной, $\det(A) = 0$:
$-2\lambda + 6 = 0$
$2\lambda = 6$
$\lambda = 3$

Ответ: $\lambda = 3$

Задание 1.18 (a)

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы:
$\begin{cases} x_1 + 4x_2 - 5x_3 = 8 \ 2x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 9 \ x_1 - 2x_2 - x_3 = 6 \end{cases}$

Представим систему в матричном виде: $AX = B$, где
$A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -5 \ 2 & 3 & -4 \ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$, $X = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 8 \ 9 \ 6 \end{bmatrix}$

Чтобы найти $X$, нужно умножить обе части уравнения на обратную матрицу $A^{-1}$:
$X = A^{-1}B$

Сначала найдем определитель матрицы $A$:
$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -4 \ -2 & -1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -4 \ 1 & -1 \end{vmatrix} - 5 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -2 \end{vmatrix}$
$\det(A) = 1(3(-1) - (-4)(-2)) - 4(2(-1) - (-4)(1)) - 5(2(-2) - 3(1))$
$\det(A) = 1(-3 - 8) - 4(-2 + 4) - 5(-4 - 3)$
$\det(A) = -11 - 8 + 35 = 16$

Теперь найдем матрицу, составленную из алгебраических дополнений:
$C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & -4 \ -2 & -1 \end{vmatrix} = -11$
$C_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-2 + 4) = -2$
$C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = -4 - 3 = -7$
$C_{21} = -\begin{vmatrix} 4 & -5 \ -2 & -1 \end{vmatrix} = -(-4 - 10) = 14$
$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -5 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 + 5 = 4$
$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 4 \ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 4) = 6$
$C_{31} = \begin{vmatrix} 4 & -5 \ 3 & -4 \end{vmatrix} = -16 + 15 = -1$
$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -5 \ 2 & -4 \end{vmatrix} = -(-4 + 10) = -6$
$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5$

Матрица алгебраических дополнений:
$C = \begin{bmatrix} -11 & -2 & -7 \ 14 & 4 & 6 \ -1 & -6 & -5 \end{bmatrix}$

Транспонированная матрица (матрица присоединенная):
$C^T = \begin{bmatrix} -11 & 14 & -1 \ -2 & 4 & -6 \ -7 & 6 & -5 \end{bmatrix}$

Обратная матрица:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -11 & 14 & -1 \ -2 & 4 & -6 \ -7 & 6 & -5 \end{bmatrix}$

Теперь найдем решение $X = A^{-1}B$:
$X = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -11 & 14 & -1 \ -2 & 4 & -6 \ -7 & 6 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 \ 9 \ 6 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -11(8) + 14(9) - 1(6) \ -2(8) + 4(9) - 6(6) \ -7(8) + 6(9) - 5(6) \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -88 + 126 - 6 \ -16 + 36 - 36 \ -56 + 54 - 30 \end{bmatrix} = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 32 \ -16 \ -32 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ -1 \ -2 \end{bmatrix}$

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1, x_3 = -2$

Задание 1.19 (a)

Решим матричное уравнение $X \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$.

Пусть $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \ 1 & 3 \end{bmatrix}$ и $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$. Тогда уравнение имеет вид $XA = B$.
Чтобы найти $X$, нужно умножить обе части уравнения справа на $A^{-1}$:
$XAA^{-1} = BA^{-1}$
$X = BA^{-1}$

Найдем определитель матрицы $A$:
$\det(A) = 2(3) - 5(1) = 6 - 5 = 1$

Найдем обратную матрицу $A^{-1}$:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 3 & -5 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -5 \ -1 & 2 \end{bmatrix}$

Теперь найдем $X = BA^{-1}$:
$X = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -5 \ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(3) + 1(-1) & 2(-5) + 1(2) \ 1(3) + 1(-1) & 1(-5) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 - 1 & -10 + 2 \ 3 - 1 & -5 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -8 \ 2 & -3 \end{bmatrix}$

Ответ: $X = \begin{bmatrix} 5 & -8 \ 2 & -3 \end{bmatrix}$