Решение задачи на геометрическую вероятность: встреча двух людей

Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эту задачу.

Задание 1

Условие:

Два человека договорились встретиться в определенном месте в промежуток времени с 12:00 до 13:00. Каждый ждет другого в течение 5 минут. Какова вероятность их встречи?

Решение:

Эта задача относится к задачам на геометрическую вероятность.

Определим пространство элементарных событий:
- Пусть $x$ - момент времени, когда пришел первый человек (в минутах после 12:00).
- Пусть $y$ - момент времени, когда пришел второй человек (в минутах после 12:00).
Тогда $0 \le x \le 60$ и $0 \le y \le 60$. Пространство элементарных событий можно представить как квадрат со стороной 60 в координатах $(x, y)$. Площадь этого квадрата равна $60 \times 60 = 3600$.
Определим благоприятные события:

Встреча произойдет, если $|x - y| \le 5$, то есть время прихода одного человека отличается от времени прихода другого не более чем на 5 минут. Это условие можно записать в виде двух неравенств:
- $x - y \le 5 \Rightarrow y \ge x - 5$
- $y - x \le 5 \Rightarrow y \le x + 5$
Таким образом, благоприятные события находятся между прямыми $y = x - 5$ и $y = x + 5$.
Вычислим площадь области благоприятных событий:

Площадь квадрата равна 3600. Площадь области, где встреча не произойдет, состоит из двух треугольников.
- Первый треугольник ограничен линиями $y = x + 5$, $x = 0$ и $y = 60$. Его площадь равна $\frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2}$.
- Второй треугольник ограничен линиями $y = x - 5$, $y = 0$ и $x = 60$. Его площадь также равна $\frac{1}{2} \times 55 \times 55 = \frac{3025}{2}$.
Суммарная площадь, где встреча не произойдет, равна $3025$.

Площадь области, где встреча произойдет, равна $3600 - 3025 = 575$.
Вычислим вероятность встречи:

Вероятность встречи равна отношению площади благоприятных событий к площади всего пространства элементарных событий:

$P(\text{встреча}) = \frac{575}{3600} = \frac{23}{144} \approx 0.1597$