Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 1

Решим систему уравнений, используя формулы Крамера:

$\begin{cases}
2x - y - z = 4 \
3x + 4y - 2z = 11 \
3x - 2y + 4z = 11
\end{cases}$

1. Вычислим главный определитель системы:

$\Delta = \begin{vmatrix}
2 & -1 & -1 \
3 & 4 & -2 \
3 & -2 & 4
\end{vmatrix} = 2(16 - 4) - (-1)(12 + 6) + (-1)(-6 - 12) = 2(12) + 18 + 18 = 24 + 18 + 18 = 60$

2. Вычислим определитель для x:

$\Delta_x = \begin{vmatrix}
4 & -1 & -1 \
11 & 4 & -2 \
11 & -2 & 4
\end{vmatrix} = 4(16 - 4) - (-1)(44 + 22) + (-1)(-22 - 44) = 4(12) + 66 + 66 = 48 + 66 + 66 = 180$

3. Вычислим определитель для y:

$\Delta_y = \begin{vmatrix}
2 & 4 & -1 \
3 & 11 & -2 \
3 & 11 & 4
\end{vmatrix} = 2(44 + 22) - 4(12 + 6) + (-1)(33 - 33) = 2(66) - 4(18) + 0 = 132 - 72 = 60$

4. Вычислим определитель для z:

$\Delta_z = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 4 \
3 & 4 & 11 \
3 & -2 & 11
\end{vmatrix} = 2(44 + 22) - (-1)(33 - 33) + 4(-6 - 12) = 2(66) + 0 + 4(-18) = 132 - 72 = 60$

5. Найдем значения x, y, z:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{180}{60} = 3$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1$

$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{60}{60} = 1$

Ответ: $x = 3, y = 1, z = 1$

Задание 2

Решим систему уравнений, используя формулы Крамера:

$\begin{cases}
x + y + 2z = -1 \
2x - y + 2z = -4 \
4x + y + 4z = -2
\end{cases}$

1. Вычислим главный определитель системы:

$\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 \
2 & -1 & 2 \
4 & 1 & 4
\end{vmatrix} = 1(-4 - 2) - 1(8 - 8) + 2(2 + 4) = -6 - 0 + 12 = 6$

2. Вычислим определитель для x:

$\Delta_x = \begin{vmatrix}
-1 & 1 & 2 \
-4 & -1 & 2 \
-2 & 1 & 4
\end{vmatrix} = -1(-4 - 2) - 1(-16 + 4) + 2(-4 - 2) = 6 + 12 - 12 = 6$

3. Вычислим определитель для y:

$\Delta_y = \begin{vmatrix}
1 & -1 & 2 \
2 & -4 & 2 \
4 & -2 & 4
\end{vmatrix} = 1(-16 + 4) - (-1)(8 - 8) + 2(-4 + 16) = -12 + 0 + 24 = 12$

4. Вычислим определитель для z:

$\Delta_z = \begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \
2 & -1 & -4 \
4 & 1 & -2
\end{vmatrix} = 1(2 + 4) - 1(-4 + 16) + (-1)(2 + 4) = 6 - 12 - 6 = -12$

5. Найдем значения x, y, z:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{6}{6} = 1$

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{12}{6} = 2$

$z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = \frac{-12}{6} = -2$

Ответ: $x = 1, y = 2, z = -2$

Задание 3

Даны вершины треугольника $ABC$: $A(-6; 1)$, $B(6; 10)$, $C(4; -4)$.

a. Длина стороны AB:

Используем формулу расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$AB = \sqrt{(6 - (-6))^2 + (10 - 1)^2} = \sqrt{(12)^2 + (9)^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$

Ответ: $AB = 15$