Я понял, вам нужно решить несколько задач по дифференциальным уравнениям. Хорошо, давайте сделаем это по порядку.
## Задание 1
Найти частное решение дифференциального уравнения $xy' - y = 0$ при начальных условиях $y_0 = -4$ при $x_0 = -2$.
Решение:
-
Преобразуем уравнение:
$xy' = y$
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}$
-
Разделяем переменные:
$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$
-
Интегрируем обе части:
$\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$
$\ln|y| = \ln|x| + C_1$
-
Упрощаем, чтобы получить общее решение:
$\ln|y| = \ln|x| + \ln|C|$ (где $C = e^{C_1}$)
$\ln|y| = \ln|Cx|$
$y = Cx$
-
Используем начальные условия $y_0 = -4$ при $x_0 = -2$ для нахождения C:
$-4 = C(-2)$
$C = 2$
-
Подставляем C в общее решение, чтобы получить частное решение:
$y = 2x$
Ответ: $y = 2x$
## Задание 2
Найти общее решение дифференциального уравнения $y' = y$.
Решение:
-
Преобразуем уравнение:
$\frac{dy}{dx} = y$
-
Разделяем переменные:
$\frac{dy}{y} = dx$
-
Интегрируем обе части:
$\int \frac{dy}{y} = \int dx$
$\ln|y| = x + C_1$
-
Упрощаем, чтобы получить общее решение:
$y = e^{x + C_1}$
$y = e^x \cdot e^{C_1}$
$y = Ce^x$ (где $C = e^{C_1}$)
Ответ: $y = Ce^x$
## Задание 3
Найти частное решение дифференциального уравнения $y' = -\frac{x}{y}$ при начальных условиях $y_0 = -4$ при $x_0 = 3$.
Решение:
-
Преобразуем уравнение:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
-
Разделяем переменные:
$y \, dy = -x \, dx$
-
Интегрируем обе части:
$\int y \, dy = \int -x \, dx$
$\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1$
-
Упрощаем, чтобы получить общее решение:
$y^2 = -x^2 + 2C_1$
$x^2 + y^2 = C$ (где $C = 2C_1$)
-
Используем начальные условия $y_0 = -4$ при $x_0 = 3$ для нахождения C:
$3^2 + (-4)^2 = C$
$9 + 16 = C$
$C = 25$
-
Подставляем C в общее решение, чтобы получить частное решение:
$x^2 + y^2 = 25$
$y^2 = 25 - x^2$
$y = \pm\sqrt{25 - x^2}$
-
Учитываем начальное условие $y_0 = -4$, выбираем знак минус:
$y = -\sqrt{25 - x^2}$
Ответ: $y = -\sqrt{25 - x^2}$
