Задача 6

Двое рабочих одновременно начали выполнять два одинаковых заказа, состоящих из одинакового количества деталей. Первый рабочий выполнил весь заказ равномерно, изготавливая определённое число деталей в день. Второй сначала изготавливал по 6 деталей в день меньше, чем делал первый рабочий, а когда выполнил половину заказа, то стал делать по 56 деталей в день, в результате чего закончил работу одновременно с первым. Какое количество деталей в день делал первый рабочий, если известно, что оно больше 40?

Решение:

Обозначим:
- $x$ - количество деталей в день, которое делал первый рабочий
- $N$ - общее количество деталей в одном заказе
- $T$ - время (в днях), за которое первый рабочий выполнил заказ

Шаг 1: Найдем время выполнения заказа первым рабочим.

Первый рабочий делал $x$ деталей в день и выполнил весь заказ за время:
$T = \frac{N}{x}$

Шаг 2: Проанализируем работу второго рабочего.

Второй рабочий сначала делал $(x-6)$ деталей в день. На выполнение половины заказа ($\frac{N}{2}$ деталей) ему потребовалось:
$T_1 = \frac{N/2}{x-6}$

Затем он стал делать 56 деталей в день. На выполнение второй половины заказа ему потребовалось:
$T_2 = \frac{N/2}{56}$

Шаг 3: Составим уравнение, учитывая, что оба рабочих закончили одновременно.

Общее время работы второго рабочего равно времени работы первого:
$T_1 + T_2 = T$

$\frac{N/2}{x-6} + \frac{N/2}{56} = \frac{N}{x}$

Шаг 4: Упростим уравнение.

Умножим обе части на $\frac{2x}{N}$:
$\frac{x}{x-6} + \frac{x}{56} = 2$

Шаг 5: Решим уравнение.

$\frac{56x + x(x-6)}{56(x-6)} = 2$

$\frac{56x + x^2-6x}{56(x-6)} = 2$

$\frac{x^2+50x}{56(x-6)} = 2$

$x^2+50x = 112(x-6)$

$x^2+50x = 112x-672$

$x^2-62x+672 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-62)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 672 = 3844 - 2688 = 1156 = 34^2$

$x_{1,2} = \frac{62 \pm 34}{2} = 31 \pm 17$

$x_1 = 48$
$x_2 = 14$

По условию $x > 40$, поэтому $x = 48$.

Ответ: первый рабочий делал 48 деталей в день.