Решение задачи: Прямоугольная трапеция | Геометрия

✨ Задача 1: Прямоугольная трапеция

Условие: В прямоугольной трапеции ABCD ∠BAD прямой, ∠BAC = 45°, ∠BCD = 135°, AD = 30 см.

а) Найдите меньшую боковую сторону трапеции.
б) Назовите три равных треугольника, из которых составлена эта трапеция.

💡 Решение:

Шаг 1: Анализ углов трапеции

Трапеция ABCD, значит основания BC || AD.
∠BAD = 90° (по условию), следовательно, AB ⊥ AD. Так как BC || AD, то AB ⊥ BC, и ∠ABC = 90°.
Рассмотрим треугольник ABC. ∠BAC = 45° (по условию), ∠ABC = 90°. Сумма углов треугольника 180°, значит ∠BCA = 180° - 90° - 45° = 45°.
Поскольку ∠BAC = ∠BCA = 45°, треугольник ABC является равнобедренным, и AB = BC.

Шаг 2: Построение и анализ треугольника ACD

Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольник ACD.
Найдем ∠CAD. Так как ∠BAD = 90° и ∠BAC = 45°, то ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 90° - 45° = 45°.
Найдем ∠ACD. Угол ∠BCD = 135° (по условию). Мы знаем, что ∠BCA = 45°. Тогда ∠ACD = ∠BCD - ∠BCA = 135° - 45° = 90°.
Таким образом, треугольник ACD является прямоугольным (∠ACD = 90°) и равнобедренным, так как у него есть угол 45° (∠CAD), а значит и второй острый угол ∠CDA = 180° - 90° - 45° = 45°.
Из равнобедренности треугольника ACD следует, что AC = CD.

Шаг 3: Нахождение сторон

В прямоугольном треугольнике ACD катеты AC и CD, гипотенуза AD = 30 см.
По теореме Пифагора: $AC^2 + CD^2 = AD^2$.
Так как AC = CD, то $2 \cdot AC^2 = 30^2$, что дает $2 \cdot AC^2 = 900$, и $AC^2 = 450$.
Отсюда $AC = \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$ см.
Значит, CD = 15√2 см.
Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику ABC. Катеты AB и BC, гипотенуза AC = 15√2 см.
По теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
Так как AB = BC, то $2 \cdot AB^2 = (15\sqrt{2})^2$, что дает $2 \cdot AB^2 = 450$, и $AB^2 = 225$.
Отсюда AB = 15 см.

Шаг 4: Ответы на вопросы

а) Меньшая боковая сторона
* Боковые стороны трапеции — это AB и CD.
* AB = 15 см.
* CD = 15√2 ≈ 15 * 1.414 = 21.21 см.
* Сравнивая их, видим, что меньшая боковая сторона — это AB.

б) Три равных треугольника
* Проведем высоту CH из вершины C на основание AD. Так как AB ⊥ AD, то CH || AB и CH = AB = 15 см. AH = BC = 15 см.
* Рассмотрим треугольник CHD. ∠CHD = 90°. CH = 15 см. HD = AD - AH = 30 - 15 = 15 см. Значит, треугольник CHD — прямоугольный и равнобедренный.
* Сравним треугольники:
1. ΔABC: прямоугольный, катеты AB = BC = 15 см.
2. ΔACH: прямоугольный (т.к. CH ⊥ AD), катеты AH = 15 см, CH = 15 см.
3. ΔCHD: прямоугольный, катеты CH = HD = 15 см.
* Все три треугольника (ABC, ACH, CHD) равны по двум катетам.