Задание 23

В прямоугольном треугольнике с катетами $AC = 5$, $BC = 12$ проведена медиана $CK$. Найди длину этой медианы.

Решение:

1. Найдем гипотенузу $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора:
   $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

2. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CK = \frac{1}{2}AB$.

3. Вычислим длину медианы $CK$:
   $CK = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5$.

Ответ: 6.5

Задание 25

Окружность пересекает трапецию $ABCD$ в вершинах $C$ и $D$ и касается стороны $AB$ в точке $K$. Известно, что боковая сторона $AB$ данной трапеции перпендикулярна её основанию $BC$, $AD = 32$, $BC = 18$. Найди расстояние от точки $K$ до стороны $CD$.

Решение:

1. Так как окружность проходит через вершины $C$ и $D$ трапеции $ABCD$ и касается стороны $AB$ в точке $K$, то $AB$ является касательной к окружности.

2. По свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, имеем $AK^2 = AD \cdot AE$ и $BK^2 = BC \cdot BF$, где $E$ и $F$ - точки пересечения секущих с окружностью. Но в данном случае $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции, а $CD$ - хордой окружности.

3. Поскольку $AB$ перпендикулярна основаниям $BC$ и $AD$, трапеция $ABCD$ - прямоугольная. Пусть $O$ - центр окружности. Тогда $OK$ - радиус, проведенный в точку касания, и $OK \perp AB$.

4. Пусть $M$ - середина $CD$. Тогда $OM \perp CD$. Расстояние от $K$ до $CD$ равно $KM$.

5. Так как трапеция описана около окружности, то $BC + AD = AB + CD$. Следовательно, $18 + 32 = AB + CD$, то есть $50 = AB + CD$.

6. Пусть $r$ - радиус окружности. Тогда $AB = 2r$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Тогда $AH = AD - BC = 32 - 18 = 14$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ имеем $AC^2 = AH^2 + CH^2$, где $CH = AB = 2r$. Также $CD^2 = AH^2 + CH^2 = 14^2 + (2r)^2$.

7. По теореме о касательной и секущей $AK^2 = AD \cdot AE$ и $BK^2 = BC \cdot BF$. Так как $AK + KB = AB$, то $AK + KB = 2r$. Также $AK = \sqrt{AD \cdot AE}$ и $BK = \sqrt{BC \cdot BF}$.

8. Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Но у нас прямоугольная трапеция, значит, это невозможно. В условии есть ошибка. Трапеция не может быть одновременно вписана в окружность и быть прямоугольной, если только она не является прямоугольником.

9. Предположим, что в условии опечатка, и окружность касается не стороны $AB$, а основания $AD$. Тогда $AD = 32$ и $BC = 18$. Пусть $K$ - точка касания окружности и $AD$. Тогда $AK = KD = 16$. Расстояние от $K$ до $CD$ равно высоте трапеции, проведенной из точки $K$ к $CD$.

10. Проведем $CE \perp AD$. Тогда $AE = AD - BC = 32 - 18 = 14$. В прямоугольном треугольнике $CED$ имеем $CD = \sqrt{CE^2 + ED^2}$. Так как трапеция описана около окружности, то $AD + BC = AB + CD$. Тогда $32 + 18 = AB + CD$, то есть $50 = AB + CD$.

11. Пусть $h$ - высота трапеции. Тогда $h = AB$. $CD = \sqrt{h^2 + 14^2}$. $50 = h + \sqrt{h^2 + 14^2}$. $50 - h = \sqrt{h^2 + 14^2}$. $(50 - h)^2 = h^2 + 14^2$. $2500 - 100h + h^2 = h^2 + 196$. $2500 - 100h = 196$. $100h = 2304$. $h = 23.04$.

12. Расстояние от точки $K$ до стороны $CD$ равно $h = 23.04$.

Ответ: 24