Задание 1

Дано:
* Площадь прямоугольного треугольника: $S = 630$ см$^2$
* Гипотенуза: $c = 53$ см

Найти: Периметр $P$ треугольника.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:
   $S = \frac{1}{2}ab$
   Подставим известное значение площади:
   $630 = \frac{1}{2}ab$
   $ab = 1260$

2. По теореме Пифагора:
   $a^2 + b^2 = c^2$
   $a^2 + b^2 = 53^2$
   $a^2 + b^2 = 2809$

3. Выразим $(a+b)^2$:
   $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
   Подставим известные значения:
   $(a+b)^2 = 2809 + 2(1260) = 2809 + 2520 = 5329$

4. Найдем $a+b$:
   $a+b = \sqrt{5329} = 73$

5. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон:
   $P = a + b + c$
   $P = 73 + 53 = 126$

Ответ: Периметр треугольника равен 126 см.

Задание 1

Дано:
* Сторона $AC = 10$
* Угол $\angle ABC = 100^{\circ}$
* Угол $\angle BCA = 32^{\circ}$

Найти: Решить треугольник $ABC$ (найти все углы и стороны).

Решение:

1. Найдем угол $\angle BAC$:
   Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$.
   $\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BCA = 180^{\circ} - 100^{\circ} - 32^{\circ} = 48^{\circ}$

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $AB$ и $BC$:
   $\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

3. Найдем сторону $AB$:
   $\frac{10}{\sin(100^{\circ})} = \frac{AB}{\sin(32^{\circ})}$
   $AB = \frac{10 \cdot \sin(32^{\circ})}{\sin(100^{\circ})}$
   Из таблицы Брадиса: $\sin(32^{\circ}) \approx 0.53$, $\sin(100^{\circ}) \approx 0.98$
   $AB = \frac{10 \cdot 0.53}{0.98} \approx \frac{5.3}{0.98} \approx 5.4$

4. Найдем сторону $BC$:
   $\frac{10}{\sin(100^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(48^{\circ})}$
   $BC = \frac{10 \cdot \sin(48^{\circ})}{\sin(100^{\circ})}$
   Из таблицы Брадиса: $\sin(48^{\circ}) \approx 0.74$, $\sin(100^{\circ}) \approx 0.98$
   $BC = \frac{10 \cdot 0.74}{0.98} \approx \frac{7.4}{0.98} \approx 7.6$

Ответ:
* $\angle BAC = 48^{\circ}$
* $AB \approx 5.4$
* $BC \approx 7.6$