Задание 16

Дано: Треугольник ABC, AB = AC, ∠A = 68°, BM и CM - биссектрисы углов B и C, M - точка пересечения биссектрис.
Найти: ∠BMC.

Решение:

1. Так как AB = AC, то треугольник ABC - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны: ∠B = ∠C.

2. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

3. Выразим ∠B и ∠C через ∠A: ∠B = ∠C = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 68°) / 2 = 112° / 2 = 56°.

4. Так как BM и CM - биссектрисы, то ∠MBC = ∠B / 2 = 56° / 2 = 28° и ∠MCB = ∠C / 2 = 56° / 2 = 28°.

5. Рассмотрим треугольник BMC. Сумма углов в треугольнике BMC равна 180°: ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = 180°.

6. Выразим ∠BMC: ∠BMC = 180° - ∠MBC - ∠MCB = 180° - 28° - 28° = 180° - 56° = 124°.

Ответ: ∠BMC = 124°.