Задание: Доказать верное равенство отношений в ряд (ABCD)

Дано: Четырехугольник ABCD с пересекающимися диагоналями в точке O.
Требуется: Доказать, что следующие отношения равны:

$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC}$

Решение:
1) В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

2) По теореме о пересекающихся хордах (если диагонали четырехугольника пересекаются):
* Произведение отрезков одной диагонали равно произведению отрезков другой диагонали
* $AO \cdot OC = BO \cdot OD$

3) Отсюда следует:
* $\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}$

4) По теореме о подобных треугольниках:
* Треугольники AOB и COD подобны
* Треугольники AOD и BOC подобны

5) Из подобия треугольников следует:
* $\frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC}$
* $\frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC}$

6) Следовательно:
$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{AD}{BC}$

Что и требовалось доказать.