Задача: Найти наименьший угол ромба MNKL, если его диагонали равны $25\sqrt{3}$ и $25$.

Решение:

Шаг 1: Вспомним свойства ромба

В ромбе:
- Все стороны равны
- Диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам
- Диагонали делят углы ромба пополам

Шаг 2: Обозначим диагонали

Пусть:
- $d_1 = 25\sqrt{3}$ - первая диагональ
- $d_2 = 25$ - вторая диагональ

Шаг 3: Найдем сторону ромба

Используем формулу для нахождения стороны ромба через диагонали:
$a^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4}$

Подставим значения:
$a^2 = \frac{(25\sqrt{3})^2 + 25^2}{4} = \frac{25^2 \cdot 3 + 25^2}{4} = \frac{25^2(3+1)}{4} = \frac{25^2 \cdot 4}{4} = 25^2 = 625$

Отсюда $a = 25$

Шаг 4: Найдем углы ромба

Пусть $\alpha$ - острый угол ромба, а $\beta$ - тупой угол ромба.

Используем формулу для нахождения угла через диагонали:
$\sin\alpha = \frac{2 \cdot S}{a^2}$, где $S$ - площадь ромба.

Площадь ромба можно найти через диагонали: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

$S = \frac{25\sqrt{3} \cdot 25}{2} = \frac{625\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем $\sin\alpha$:
$\sin\alpha = \frac{2 \cdot \frac{625\sqrt{3}}{2}}{625} = \frac{625\sqrt{3}}{625} = \sqrt{3}$

Но $\sin\alpha$ не может быть равен $\sqrt{3}$, так как $\sqrt{3} > 1$, а синус не может превышать 1.

Проверим наши вычисления. Возможно, мы должны использовать другую формулу.

Шаг 5: Используем другой подход

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом. Если обозначить точку пересечения диагоналей как O, то получим четыре прямоугольных треугольника.

В каждом из этих треугольников:
- Гипотенуза равна стороне ромба $a = 25$
- Один из катетов равен половине первой диагонали: $\frac{d_1}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$
- Другой катет равен половине второй диагонали: $\frac{d_2}{2} = \frac{25}{2}$

Теперь можем найти угол $\alpha$ с помощью тригонометрии:
$\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{d_2}{2}}{a} = \frac{25/2}{25} = \frac{1}{2}$

Отсюда $\frac{\alpha}{2} = 30°$, значит $\alpha = 60°$

Проверим с помощью косинуса:
$\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{d_1}{2}}{a} = \frac{25\sqrt{3}/2}{25} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это соответствует углу $\frac{\alpha}{2} = 30°$, что подтверждает наш результат $\alpha = 60°$.

Ответ: наименьший угол ромба равен $60°$.