Задание 117

Разберем основные определения, которые даны в задании:

1) ME > PE - точка по теореме
2) ∠P = ∠M - точка пропорциональна
3) Доказать: ME - теорема

Решение:

1. Сначала рассмотрим условие ME > PE:
   * Это означает, что точка E находится дальше от точки M, чем от точки P

2. Дано, что ∠P = ∠M:
   * Это условие говорит о равенстве углов при точках P и M
   * В геометрии равенство углов часто указывает на подобие или равенство фигур

3. Для доказательства теоремы ME:
   * Используем данные условия: ME > PE и ∠P = ∠M
   * Построим треугольники с этими элементами
   * По равенству углов и соотношению сторон можем сделать вывод о свойствах точки E

Вывод: Используя условия ME > PE и равенство углов ∠P = ∠M, мы можем доказать теорему о точке E и её свойствах в данной геометрической конфигурации.

Задание 119

Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC
- ∠B < ∠C
- AB < BC

Найти: какая из сторон является гипотенузой?

Решение:

1) Если ∠B < ∠C, то AC < AB (по обратной теореме: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона)

2) По условию имеем:
* AB < BC
* AC < AB (из пункта 1)
* Следовательно: AC < AB < BC

3) В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является наибольшей стороной. Из полученных неравенств видно, что BC - наибольшая сторона треугольника.

Ответ: BC является гипотенузой треугольника.

Проверка:
- Это согласуется со следствием 1 (гипотенуза больше катета)
- BC действительно больше обоих катетов (AB и AC)