Решение задач на подобие треугольников по геометрии

Здравствуйте! Давайте решим задачи по порядку.

Задание 1

Дано:
* $\angle A = \angle B$
* $CO = 4$
* $DO = 6$
* $AO = 5$

Найти:
а) $OB$
б) $AC : BD$

Решение:

а) Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$.
* $\angle A = \angle B$ (по условию)
* $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные)

Следовательно, $\triangle AOC \sim \triangle BOD$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$

Подставим известные значения:

$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$

$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$

б) Из подобия треугольников также следует:

$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$

Используем найденное значение $BO = 7.5$:

$\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$

Ответ:
а) $OB = 7.5$
б) $AC : BD = 2 : 3$

1 Объяснить подробнее 1 Показать теорию

Задание 2

Дано:
В $\triangle ABC$:
* $AB = 4$ см
* $BC = 7$ см
* $AC = 6$ см
В $\triangle MKN$:
* $MK = 8$ см
* $MN = 12$ см
* $KN = 14$ см
$\angle A = 80^\circ$
$\angle B = 60^\circ$

Найти: углы $\triangle MKN$

Решение:

Сначала найдем угол $C$ в $\triangle ABC$:
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ$

Теперь сравним стороны треугольников $ABC$ и $MKN$:
$\frac{AB}{MK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{BC}{KN} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{AC}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Так как все стороны пропорциональны, $\triangle ABC \sim \triangle MKN$ (по трем сторонам).

Следовательно, углы $\triangle MKN$ равны углам $\triangle ABC$:
$\angle M = \angle A = 80^\circ$
$\angle K = \angle B = 60^\circ$
$\angle N = \angle C = 40^\circ$

Ответ:
$\angle M = 80^\circ$, $\angle K = 60^\circ$, $\angle N = 40^\circ$