Задание 3

Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 50^\circ$, $CM = 6$ см.

Найти: $AB$, $\angle BCM$, $\angle AMC$.

Решение:

1. Найдем угол $B$ в треугольнике $ABC$:
   $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ = 40^\circ$.

2. Так как $CM$ - медиана, проведенная из вершины прямого угла, то $CM = AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Следовательно, $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 6 = 12$ см.

3. Рассмотрим $\triangle AMC$. Так как $AM = CM$, то $\triangle AMC$ - равнобедренный, и $\angle MAC = \angle MCA = 50^\circ$.

4. Найдем $\angle AMC$:
   $\angle AMC = 180^\circ - \angle MAC - \angle MCA = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$.

5. Рассмотрим $\triangle CMB$. Так как $CM = MB$, то $\triangle CMB$ - равнобедренный, и $\angle MBC = \angle MCB = 40^\circ$.

6. Найдем $\angle BCM$:
   $\angle BCM = 40^\circ$.

Ответ: $AB = 12$ см, $\angle BCM = 40^\circ$, $\angle AMC = 80^\circ$.