Задание: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника

Дано:
- Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C
- Катет AC = 15 см
- sin B = 3/7

Решение:

1️⃣ В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin B = \frac{AC}{AB}$, где AB - гипотенуза

2️⃣ Подставим известные значения:
$\frac{3}{7} = \frac{15}{AB}$

3️⃣ Решаем уравнение относительно AB:
$AB \cdot \frac{3}{7} = 15$
$AB = 15 \cdot \frac{7}{3}$
$AB = 35$

4️⃣ Проверка:
- Гипотенуза должна быть больше катета ✓
- Значение синуса меньше 1 ✓

Ответ: гипотенуза AB = 35 см.

Задание: Найти площадь треугольника ABC

Дано:
- Треугольник ABC
- Проведена линия KN
- Площадь треугольника AKN = 32 см²

❗ В задаче не хватает данных для однозначного решения. Нам нужно знать:
1. Как именно проведена линия KN (является ли она средней линией или проведена как-то иначе)
2. Где расположены точки K и N на сторонах треугольника

Возможные варианты решения:

1️⃣ Если KN - средняя линия треугольника ABC:
- Средняя линия делит треугольник в отношении 1:3 по площади
- Если площадь треугольника AKN = 32 см², то:
$S_{ABC} = 32 \cdot 4 = 128$ см²

2️⃣ Если KN проведена произвольно:
- Решение невозможно без дополнительных данных о расположении точек K и N

Ответ: если KN - средняя линия треугольника, то площадь треугольника ABC = 128 см².
В противном случае для решения задачи требуются дополнительные данные.

Подробное решение задачи о площади треугольника

Дано:
- Треугольник ABC
- Отрезок KN
- Площадь треугольника AKN = 32 см²

🔍 Анализ задачи:
В задаче не указано точное расположение точек K и N. Рассмотрим наиболее вероятный случай - когда KN является средней линией треугольника.

📐 Теоретическая база:
1. Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника
2. Средняя линия треугольника:
- Параллельна третьей стороне
- Равна половине третьей стороны
- Делит площадь треугольника в отношении 1:3

🔢 Решение:
1. Если KN - средняя линия, то она делит треугольник ABC на две части:
- Верхний треугольник AKN
- Нижняя трапеция KNBC

2. По свойству средней линии:
   - $S_{AKN} : S_{ABC} = 1 : 4$
   - Где $S_{AKN}$ - площадь верхнего треугольника
   - $S_{ABC}$ - площадь всего треугольника

3. Зная площадь треугольника AKN:
   $S_{AKN} = 32$ см²
   $S_{ABC} = 32 \cdot 4 = 128$ см²

✅ Проверка:
- Площадь верхнего треугольника (32 см²) составляет 1/4 от общей площади (128 см²)
- Площадь нижней трапеции составляет 96 см² (3/4 от общей площади)

⚠️ Важное замечание:
Если KN не является средней линией, то для решения задачи потребуются дополнительные данные о расположении точек K и N.

Ответ: если KN - средняя линия треугольника, то площадь треугольника ABC = 128 см².