Решение геометрической задачи

Дано:
- Точки D и E на сторонах AB и BC треугольника ABC соответственно
- ∠CAB = ∠EDB
- BE : EC = 4 : 1

Найти: AC : DE

Решение:

1) По условию ∠CAB = ∠EDB. Также у этих углов есть общий угол при вершине B.

2) Следовательно, треугольники CAB и EDB подобны по двум углам.

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{CA}{ED} = \frac{AB}{DB}$

4) По свойству пропорций: $\frac{CA}{ED} = \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE}$

5) По условию BE : EC = 4 : 1, значит:
$\frac{BE}{BC} = \frac{4}{5}$ (так как BE + EC = BC, и если разделить BC на 5 частей, то BE займёт 4 части)

6) Следовательно:
$\frac{BC}{BE} = \frac{5}{4}$

7) А так как $\frac{CA}{ED} = \frac{BC}{BE}$, то:
$\frac{CA}{ED} = \frac{5}{4}$ или $\frac{AC}{DE} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\frac{AC}{DE} = 1.25$ или $\frac{5}{4}$

Решение:

Дано:
- Углы A и B треугольника ABC равны углам A₁ и B₁ треугольника A₁B₁C₁
- A₁C₁ = 11
- B₁C₁ : A₁B₁ = 2 : 3
- PABC = 39
- PA₁B₁C₁ = 26

Решение пошагово:

1) Так как два угла треугольников равны, то и третьи углы равны (сумма углов в треугольнике 180°). Следовательно, треугольники подобны.

2) Обозначим коэффициент подобия как k:
$k = \frac{ABC}{A_1B_1C_1}$

3) Для подобных треугольников верно:
- Отношение периметров равно коэффициенту подобия
$k = \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{39}{26} = 1.5$

4) В треугольнике A₁B₁C₁:
- A₁C₁ = 11
- B₁C₁ : A₁B₁ = 2 : 3
Пусть B₁C₁ = 2x и A₁B₁ = 3x, тогда:
P_{A₁B₁C₁} = A₁C₁ + B₁C₁ + A₁B₁ = 11 + 2x + 3x = 26

5) Решаем уравнение:
11 + 5x = 26
5x = 15
x = 3

6) Значит в треугольнике A₁B₁C₁:
- B₁C₁ = 6
- A₁B₁ = 9
- A₁C₁ = 11

7) Стороны треугольника ABC в 1.5 раза больше:
- BC = 9
- AB = 13.5
- AC = 16.5

8) Средняя сторона треугольника ABC:
$\frac{9 + 13.5 + 16.5}{3} = 13$

Ответ: 13