Вычисление площади прямоугольной трапеции с биссектрисой

Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 15 см. А диагональ является биссектрисой его тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Задача: Вычисление площади прямоугольной трапеции

Дано:
- Прямоугольная трапеция с основаниями 6 см и 15 см
- Диагональ является биссектрисой тупого угла

Найти: площадь трапеции

Решение:

📐 Обозначим элементы трапеции:
- $a = 6$ см - меньшее основание
- $c = 15$ см - большее основание
- Пусть $h$ - высота трапеции
- Обозначим прямой угол в вершине $A$

Шаг 1: Построим чертёж и введём обозначения

Пусть $ABCD$ - наша трапеция, где:
- $AB = c = 15$ см - большее основание
- $DC = a = 6$ см - меньшее основание
- Угол $A$ - прямой
- Угол $D$ - тупой
- $BD$ - диагональ, которая является биссектрисой угла $D$

Шаг 2: Найдём длину боковой стороны $AD$

Поскольку угол $A$ прямой, то $AD = h$ (высота трапеции).

Шаг 3: Используем свойство биссектрисы

По условию, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $D$. Известно, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Рассмотрим треугольник $BDC$:
- Биссектриса $BD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BA$ и $AC$
- Эти отрезки пропорциональны сторонам $BD$ и $DC$

То есть: $\frac{BA}{AC} = \frac{BD}{DC}$

Но $BA = AB = 15$ см, а $DC = 6$ см.
Также $AC = c - a = 15 - 6 = 9$ см.

Шаг 4: Составим уравнение, используя свойство биссектрисы

Пусть $BD = d$ (длина диагонали).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABD$:
$d^2 = AB^2 + AD^2 = 15^2 + h^2 = 225 + h^2$

Теперь используем свойство биссектрисы:
$\frac{15}{9} = \frac{d}{6}$

Отсюда: $d = \frac{15 \cdot 6}{9} = \frac{90}{9} = 10$ см

Шаг 5: Найдём высоту трапеции

Зная длину диагонали, найдем высоту трапеции:
$d^2 = 225 + h^2$
$10^2 = 225 + h^2$
$100 = 225 + h^2$
$h^2 = 100 - 225 = -125$

Получили отрицательное значение под корнем, что говорит об ошибке в рассуждениях. Пересмотрим подход.

Альтернативное решение:

Пусть $ABCD$ - наша трапеция, где:
- $BC = c = 15$ см - большее основание
- $AD = a = 6$ см - меньшее основание
- Угол $A$ - прямой
- Угол $D$ - тупой
- $AC$ - диагональ, которая является биссектрисой угла $D$

Пусть $h$ - высота трапеции, равная $AB$.

Поскольку $AC$ - биссектриса угла $D$, то она делит угол $D$ пополам.

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $ABC$:

1) В треугольнике $ABC$:
- $AB = h$
- $BC = 15$
- Угол $B$ обозначим как $\beta$

2) В треугольнике $ADC$:
- $AD = 6$
- $DC = c - a = 15 - 6 = 9$ см
- Угол $C$ обозначим как $\gamma$