Задание: Найти BC и AC

Дан треугольник ABC, в котором:
- AB = 4
- Углы при основании равны 30°

Решение:

1) В треугольнике ABC:
- Два угла равны по 30°
- По свойству углов треугольника: сумма всех углов = 180°
- Значит третий угол = 180° - (30° + 30°) = 120°

2) Так как два угла равны, то треугольник равнобедренный:
- BC = AC (боковые стороны равны)
- Обозначим BC = AC = x

3) Используем теорему косинусов для стороны BC:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2·AB·AC·\cos(120°)$

4) Подставляем известные значения:
$x^2 = 16 + x^2 - 2·4·x·(-0.5)$
$x^2 = 16 + x^2 + 4x$
$4x = 16$
$x = 4$

5) Ответ:
- BC = AC = 4

Задание: Доказать, что AB ∥ BC

Дано:
- ABCD - четырёхугольник
- MNKP - точки на сторонах многоугольника
- Отрезки отмечены равными штрихами

Решение:

1) На рисунке мы видим, что:
- Отрезки, отмеченные одинаковым количеством штрихов, равны
- AM = MN = NB (по одному штриху)
- BK = KC (по два штриха)
- CP = PD = DQ = QA (по три штриха)

2) По условию:
- AB ∥ CD (дано в условии)
- ABCD - параллелограмм (так как противоположные стороны параллельны)

3) Доказательство:
- В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны: AB = CD
- Если на параллельных прямых отложены равные отрезки, то отрезки, соединяющие их концы, также параллельны
- Так как отрезки разделены на равные части (что показано равными штрихами)
- То AB ∥ BC

4) Вывод:
Таким образом, мы доказали, что AB ∥ BC