Задание 21

Дано: Треугольник ABC, в котором AC = BC, $\angle A = 65^\circ$, $\angle ANB = 115^\circ$.
Найти: $\angle C$, $\angle AMN$.

Решение:

1. Найдем $\angle B$:
   Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то углы при основании равны: $\angle A = \angle B = 65^\circ$.

2. Найдем $\angle C$:
   Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
   $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

3. Найдем $\angle MAN$:
   $\angle MNB$ смежный с углом $\angle ANB$, поэтому:
   $\angle MNA = 180^\circ - \angle ANB = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник AMN. Сумма углов в треугольнике AMN равна $180^\circ$, поэтому:
   $\angle AMN = 180^\circ - (\angle MAN + \angle MNA) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $\angle C = 50^\circ$, $\angle AMN = 50^\circ$.