Решение геометрической задачи на нахождение угла ADC

Привет! Давайте решим задачу 31.

Задание 31

Найти угол (\angle ADC).

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поэтому:

(\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ)

(20^\circ + 130^\circ + \angle BCA = 180^\circ)

(\angle BCA = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ)
По условию, угол (\angle BCD = 15^\circ). Тогда:

(\angle ACD = \angle BCA - \angle BCD = 30^\circ - 15^\circ = 15^\circ)
Треугольник ADC равнобедренный, так как (\angle ACD = \angle DAC = 15^\circ). Следовательно, (AD = CD).
Рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поэтому:

(\angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ)

(20^\circ + 130^\circ + \angle ADB = 180^\circ)

(\angle ADB = 180^\circ - (20^\circ + \angle DBC))
Найдем угол (\angle DBC). Так как (\angle ABC = 130^\circ) и (\angle ABD + \angle DBC = 130^\circ), то

(\angle DBC = 130^\circ - \angle ABD)
Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Поэтому:

(\angle DBC + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ)

(\angle DBC + 15^\circ + \angle BDC = 180^\circ)
Угол (\angle ADC) является внешним углом для треугольника BCD, поэтому:

(\angle ADC = \angle DBC + \angle BCD)

(\angle ADC = \angle DBC + 15^\circ)
Сумма углов, прилежащих к прямой, равна 180 градусам. Значит:

(\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ)
Из треугольника ABC мы знаем, что (\angle BAC = 20^\circ), (\angle ABC = 130^\circ), и (\angle ACB = 30^\circ). Также (\angle BCD = 15^\circ), следовательно, (\angle ACD = 15^\circ).
В треугольнике ADC, (\angle DAC = 20^\circ) и (\angle ACD = 15^\circ). Тогда:

(\angle ADC = 180^\circ - (20^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ)