Задание 1: Найти радиус окружности, описанной около квадрата, если радиус вписанной окружности равен $4\sqrt{2}$.

1. Связь между радиусом вписанной окружности и стороной квадрата:
   Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата. Пусть $r$ - радиус вписанной окружности, а $a$ - сторона квадрата. Тогда:

   $r = \frac{a}{2}$

   В нашем случае, $r = 4\sqrt{2}$, следовательно:

   $4\sqrt{2} = \frac{a}{2}$

   $a = 8\sqrt{2}$

2. Связь между радиусом описанной окружности и стороной квадрата:
   Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата. Пусть $R$ - радиус описанной окружности, а $d$ - диагональ квадрата. Тогда:

   $R = \frac{d}{2}$

   Диагональ квадрата можно найти по формуле:

   $d = a\sqrt{2}$

   В нашем случае, $a = 8\sqrt{2}$, следовательно:

   $d = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16$

3. Вычисление радиуса описанной окружности:
   Теперь найдем радиус описанной окружности:

   $R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Ответ: Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 8.

Задание 1: Найти высоты параллелограмма, если его площадь равна 40, а две стороны равны 5.

1. Формула площади параллелограмма:
   Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение основания на высоту, проведенную к этому основанию. То есть:

   $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$

   где $S$ - площадь параллелограмма, $a$ и $b$ - стороны параллелограмма, $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$, и $h_b$ - высота, проведенная к стороне $b$.

2. Нахождение высоты, проведенной к стороне, равной 5:
   Пусть $a = 5$. Тогда:

   $S = a \cdot h_a$

   $40 = 5 \cdot h_a$

   $h_a = \frac{40}{5} = 8$

3. Нахождение второй стороны параллелограмма:
   В задаче указано, что две стороны равны 5. Это означает, что у нас есть только одна известная сторона. Для нахождения второй высоты нам нужна вторая сторона. Поскольку в условии задачи не указана длина второй стороны, предположим, что в условии есть опечатка, и имеется в виду, что одна из сторон равна 5, а вторая сторона, например, равна 10. Тогда:

4. Предположим, что вторая сторона равна 10:
   Пусть $b = 10$. Тогда:

   $S = b \cdot h_b$

   $40 = 10 \cdot h_b$

   $h_b = \frac{40}{10} = 4$

Ответ: Если одна сторона равна 5, а вторая 10, то высоты параллелограмма равны 8 и 4 соответственно. Если в условии дана только одна сторона, равная 5, то можно найти только одну высоту, равную 8. Для нахождения второй высоты необходимо знать длину второй стороны параллелограмма.

Задание 1: Найти площадь сектора круга, если площадь круга равна 90, а центральный угол сектора равен 60°.

1. Формула площади круга:
   Площадь круга вычисляется по формуле:

   $S_{круг} = \pi r^2$

   где $r$ - радиус круга.

2. Формула площади сектора круга:
   Площадь сектора круга вычисляется по формуле:

   $S_{сектора} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot S_{круг}$

   где $\theta$ - центральный угол сектора в градусах, а $S_{круг}$ - площадь круга.

3. Вычисление площади сектора:
   В нашем случае, $S_{круг} = 90$ и $\theta = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу площади сектора:

   $S_{сектора} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot 90 = \frac{1}{6} \cdot 90 = 15$

Ответ: Площадь сектора круга равна 15.

Задание 1: Найти среднюю линию трапеции, если основания трапеции равны 4 и 6, а высота равна 4.

1. Определение средней линии трапеции:
   Средняя линия трапеции - это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

2. Формула средней линии трапеции:
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

   $m = \frac{a + b}{2}$

   где $m$ - средняя линия трапеции, $a$ и $b$ - основания трапеции.

3. Вычисление средней линии трапеции:
   В нашем случае, $a = 4$ и $b = 6$. Подставим эти значения в формулу средней линии:

   $m = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Ответ: Средняя линия трапеции равна 5.

Задание 1: Найти другой острый угол прямоугольного треугольника, если один из острых углов равен 23°.

1. Свойства прямоугольного треугольника:
   В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90° (прямой угол). Сумма всех углов треугольника равна 180°.

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника:
   Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3. Вычисление другого острого угла:
   Пусть один из острых углов равен $\alpha = 23^\circ$. Тогда другой острый угол $\beta$ можно найти как:

   $\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ$

Ответ: Другой острый угол равен 67°.

Задание 1: Найти угол AOD, если AC и BD - диаметры окружности с центром O, и угол ACB равен 78°.

1. Свойства окружности и углов:

   • Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
   • Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
   • Диаметр делит окружность на две равные дуги, каждая из которых равна 180°.

2. Определение дуги AB:
   Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, дуга AB равна удвоенному углу ACB:

   $\text{дуга } AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$

3. Определение угла AOB:
   Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно, угол AOB равен дуге AB:

   $\angle AOB = \text{дуга } AB = 156^\circ$

4. Определение угла AOD:
   Угол AOD и угол AOB - смежные углы, так как AC - диаметр. Сумма смежных углов равна 180°:

   $\angle AOD = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$

Ответ: Угол AOD равен 24°.

Задание 1: Найти острый угол между диагоналями прямоугольника, если диагональ образует угол 50° с одной из его сторон.

1. Свойства прямоугольника:

   • Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
   • Все углы прямоугольника прямые (90°).

2. Рассмотрим треугольник, образованный стороной прямоугольника и половинами диагоналей:
   Пусть прямоугольник ABCD, O - точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольник ABO. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то AO = BO. Следовательно, треугольник ABO - равнобедренный.

3. Найдем углы в треугольнике ABO:
   Пусть угол между диагональю и стороной прямоугольника (например, угол между AC и AD) равен 50°. Тогда угол DAO = 50°. Так как треугольник ABO равнобедренный (AO = BO), то угол ABO = углу DAO = 50°.

4. Найдем угол AOB:
   Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°. Следовательно:

   $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

5. Найдем острый угол между диагоналями:
   Угол AOB и угол между диагоналями (например, угол между AC и BD) являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны. Следовательно, острый угол между диагоналями равен углу AOB.

   $\text{Острый угол между диагоналями} = \angle AOB = 80^\circ$

Ответ: Острый угол между диагоналями прямоугольника равен 80°.