Задание 1

Дано: $\angle AOB = 100^\circ$. Необходимо найти углы треугольника $AOB$.

1. $OA$ и $OB$ - радиусы окружности, следовательно, $OA = OB$. Значит, треугольник $AOB$ - равнобедренный.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим $\angle OAB = \angle OBA = x$.

3. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

4. Подставим известные значения: $100^\circ + x + x = 180^\circ$.

5. Решим уравнение: $2x = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

6. Найдем $x$: $x = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$.

Таким образом, $\angle OAB = \angle OBA = 40^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 100^\circ$, $\angle OAB = 40^\circ$, $\angle OBA = 40^\circ$.

Задание 2

Дано: $CB$ - касательная, $\angle C = 20^\circ$. Необходимо найти углы треугольника $AOB$.

1. $OA$ - радиус, проведенный в точку касания, следовательно, $OA \perp CB$. Значит, $\angle OAC = 90^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $OAC$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle OAC + \angle C + \angle AOC = 180^\circ$.

3. Подставим известные значения: $90^\circ + 20^\circ + \angle AOC = 180^\circ$.

4. Найдем $\angle AOC$: $\angle AOC = 180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$.

5. $OA = OB$ как радиусы одной окружности, следовательно, треугольник $AOB$ - равнобедренный с основанием $AB$. Значит, $\angle OAB = \angle OBA$.

6. $\angle AOB$ - центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. $\angle AOC$ - внешний угол треугольника $BOC$. $\angle AOB = 2 \cdot \angle C = 2 \cdot 20 = 40^\circ$ (неверно, так как $CB$ - касательная, а не секущая).

7. $\angle BOC = 180 - \angle AOC = 180 - 70 = 110^\circ$.

8. В треугольнике $AOB$: $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$. Так как $\angle OAB = \angle OBA$, то $2 \cdot \angle OAB + 110^\circ = 180^\circ$.

9. $2 \cdot \angle OAB = 70^\circ$, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA = 35^\circ$.

Ответ: $\angle AOB = 110^\circ$, $\angle OAB = 35^\circ$, $\angle OBA = 35^\circ$.