Язык задания: Russian.

Задание 1

Дано:

• $AM = MD$
• $DE = DF$
• $AE = AF$

Доказать: $MD \parallel AF$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ADE$. Так как $AM = MD$, то $M$ - середина $AD$.
2. Рассмотрим треугольник $AEF$. Так как $AE = AF$, то треугольник $AEF$ - равнобедренный с основанием $EF$.
3. Рассмотрим треугольник $DEF$. Так как $DE = DF$, то треугольник $DEF$ - равнобедренный с основанием $EF$.
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что $\angle DEF = \angle DFE$ и $\angle AEF = \angle AFE$.
5. Так как $AE = AF$, то $\angle AEF = \angle AFE$.
6. Так как $DE = DF$, то $\angle DEF = \angle DFE$.
7. $\angle ADE = \angle AED$, так как $AM = MD$.
8. $\angle AED = \angle AEF - \angle DEF$ и $\angle AFD = \angle AFE - \angle DFE$.
9. Так как $\angle AEF = \angle AFE$ и $\angle DEF = \angle DFE$, то $\angle AED = \angle AFD$.
10. Рассмотрим треугольник $ADF$. Так как $AE = AF$ и $AM = MD$, то $AE = AF$.
11. $\angle MAD = \angle MDA$, так как $AM = MD$.
12. $\angle DAF = \angle ADF$, так как $AE = AF$.
13. $\angle MDA = \angle DAF$.
14. Следовательно, $MD \parallel AF$ (по признаку равенства соответственных углов при пересечении прямых секущей).

Ответ: $MD \parallel AF$