Здравствуйте! Я ИИ-ассистент от Homiwork. Рад помочь вам разобраться с теорией по этим задачам.

Задачи в документе посвящены одной из ключевых тем геометрии — треугольникам и их свойствам. Я подготовил для вас конспект с основными правилами и теоремами, которые необходимы для их решения.

Конспект: Свойства треугольников

Этот конспект поможет вам понять и решить все задачи из документа.

1. Сумма углов треугольника

Это самое фундаментальное правило, которое используется почти в каждой задаче.

• Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180°.

  • Для треугольника ABC: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

• Применение: Если известны два угла треугольника, всегда можно найти третий, вычитая их сумму из 180°.

2. Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

• Определение:

  • Равные стороны называются боковыми сторонами.
  • Третья сторона называется основанием.
  • Угол, лежащий напротив основания, называется углом при вершине.
  • Углы, прилежащие к основанию, называются углами при основании.

• Ключевое свойство: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

  • Если $AC = BC$, то $\angle A = \angle B$.

• Применение (как в Задании 1): Если дан угол при вершине, можно легко найти углы при основании.

  1. Вычесть из 180° угол при вершине.
  2. Разделить полученный результат на 2.
     * Формула: $\angle A = \angle B = \frac{180^\circ - \angle C}{2}$

3. Внешний угол треугольника

• Определение: Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из его внутренних углов.

• Свойство: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

  • Внешний угол при вершине B равен $\angle A + \angle C$.

• Применение (как в Задании 2): Это свойство позволяет находить внутренние углы, зная внешний угол и один из несмежных с ним внутренних углов.

  • Например, если известен внешний угол при B и угол A, то $\angle C = (\text{внешний угол при B}) - \angle A$.

4. Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90°).

• Определение:

  • Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.
  • Две другие стороны называются катетами.

• Свойства:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
     • Если $\angle C = 90^\circ$, то $\angle A + \angle B = 90^\circ$.
  2. Высота, проведенная из вершины прямого угла (как в Задании 5), делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.

• Применение (как в Задании 3 и 5): Знание того, что сумма острых углов равна 90°, сильно упрощает вычисления.

5. Высота и биссектриса треугольника

• Высота (CH): Это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или на её продолжение).

  • Высота образует прямой угол (90°) со стороной, к которой она проведена. $\angle CHA = 90^\circ$.
  • Применение (как в Задании 5): Высота создает новые прямоугольные треугольники (например, $\triangle CHB$), в которых можно использовать свойство о сумме острых углов.

• Биссектриса (AE): Это луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам.

  • Если AE — биссектриса угла A, то $\angle CAE = \angle EAB = \frac{\angle A}{2}$.
  • Применение (как в Задании 6): Биссектриса помогает находить части углов, что полезно при решении задач с несколькими пересекающимися линиями внутри треугольника.

Как применять эту теорию:

• Задание 1: Используйте свойства равнобедренного треугольника и сумму углов.
• Задание 2: Примените свойство внешнего угла треугольника.
• Задание 3: Используйте свойство суммы острых углов прямоугольного треугольника и составьте уравнение.
• Задание 4: Рассмотрите разные случаи для равнобедренного треугольника (какой именно угол больше другого) и используйте теорему о сумме углов.
• Задание 5: Используйте высоту для создания прямоугольного треугольника и найдите части углов.
• Задание 6: Используйте определение биссектрисы и свойства углов в прямоугольном треугольнике.

Надеюсь, этот конспект поможет вам! Теперь вы вооружены всеми необходимыми знаниями для решения этих задач.

Здравствуйте! Конечно, я продолжу конспект, добавив теорию, необходимую для решения оставшихся задач (с 7 по 12).

Конспект: Свойства треугольников (Часть 2)

Этот раздел дополняет предыдущий и охватывает понятия, необходимые для решения более сложных задач.

6. Медиана треугольника

• Определение: Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

  • Если $CD$ — медиана к стороне $AB$, то точка $D$ является серединой $AB$, и, следовательно, $AD = DB$.

• Особое свойство медианы в прямоугольном треугольнике (как в Задании 10):

  • Медиана, проведенная из вершины прямого угла (к гипотенузе), равна половине гипотенузы.
  • Если в $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ и $CD$ — медиана, то $CD = AD = DB$.
  • Следствие: Эта медиана делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника ($\triangle ADC$ и $\triangle BDC$). Это ключевой момент для нахождения углов.

7. Углы, образованные высотами

• Определение: Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

• Угол между высотами (как в Задании 8):

  • Рассмотрим высоты, проведенные из вершин $A$ и $B$, которые пересекаются в точке $O$.
  • Они образуют четырехугольник (например, $CDOE$, где $D$ и $E$ - основания высот). Сумма углов четырехугольника равна 360°. Два угла в этом четырехугольнике прямые (по 90°).
  • Свойство: Угол между высотами, проведенными из двух вершин, связан с углом треугольника при третьей вершине.
    • Острый угол между высотами равен углу при третьей вершине.
    • Тупой угол между высотами равен $180^\circ - (\text{угол при третьей вершине})$.
  • Применение: Зная два угла треугольника, можно найти третий, а затем и угол между высотами.

8. Соотношение углов треугольника (как в Задании 9)

• Задача: Углы треугольника относятся как $x:y:z$.
• Метод решения:
  1. Обозначьте углы через переменную, например, $kx$, $ky$, $kz$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.
  2. Используйте теорему о сумме углов треугольника: $kx + ky + kz = 180^\circ$.
  3. Решите полученное уравнение, чтобы найти $k$.
  4. Найдите величину каждого угла, умножив $k$ на соответствующую часть отношения.

9. Угол между высотой и биссектрисой (как в Задании 11)

• Задача: Найти угол между высотой и биссектрисой, проведенными из одной вершины.
• Свойство (для прямоугольного треугольника):
  • Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Из этой вершины проведены высота $CH$ и биссектриса $CD$.
  • Угол между ними ($\angle HCD$) можно найти, зная острые углы треугольника.
  • Формула: Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен полуразности острых углов треугольника.
    • $\angle HCD = \frac{|\angle A - \angle B|}{2}$
• Как это вывести:
  1. Биссектриса $CD$ делит прямой угол на два угла по 45° ($\angle BCD = 45^\circ$).
  2. В прямоугольном $\triangle CHB$ угол $\angle BCH = 90^\circ - \angle B$.
  3. Искомый угол $\angle HCD = \angle BCD - \angle BCH = 45^\circ - (90^\circ - \angle B) = \angle B - 45^\circ$.
  4. Так как $\angle A + \angle B = 90^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - \angle A$. Подставив это, получим $\angle HCD = (90^\circ - \angle A) - 45^\circ = 45^\circ - \angle A$.
  5. Объединяя, получаем $\angle HCD = \frac{|\angle A - \angle B|}{2}$.

10. Дополнительные построения и равнобедренные треугольники (как в Задании 12)

• Задача: Иногда в условии задачи есть необычное равенство сторон, которые не принадлежат одному треугольнику (например, $AE = AC$).
• Метод решения:
  1. Ищите равнобедренные треугольники. Если $AE = AC$, то треугольник $\triangle AEC$ является равнобедренным.
  2. Используйте свойства равнобедренного треугольника: найдите углы при его основании ($\angle AEC$ и $\angle ACE$).
  3. Используйте свойство внешнего угла. Часто один из найденных углов является внешним для другого треугольника. Например, $\angle AEC$ является внешним для $\triangle EBC$.
  4. Свяжите углы. Используя свойство внешнего угла ($\angle AEC = \angle EBC + \angle ECB$), можно найти неизвестные углы.

Как применять эту теорию:

• Задание 7: Используйте определение биссектрисы и теорему о сумме углов.
• Задание 8: Найдите третий угол треугольника, а затем тупой угол между высотами по формуле $180^\circ - (\text{третий угол})$.
• Задание 9: Составьте уравнение $2k + 3k + 4k = 180^\circ$, найдите $k$, а затем наименьший угол $2k$.
• Задание 10: Используйте свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Она создает равнобедренный треугольник, углы которого легко найти.
• Задание 11: Найдите второй острый угол, а затем используйте формулу для угла между высотой и биссектрисой: $\frac{|\angle A - \angle B|}{2}$.
• Задание 12: Заметьте, что $\triangle AEC$ — равнобедренный. Найдите его углы. Затем используйте тот факт, что $\angle AEC$ — внешний для $\triangle EBC$.

Этот конспект теперь охватывает все теоретические аспекты, необходимые для решения задач из вашего документа.

Здравствуйте! Рад снова вам помочь. Вижу, вы добавили задачи, связанные с нахождением площади и использованием тригонометрии. Давайте я дополню наш конспект, чтобы он охватывал и эти темы.

Конспект: Площадь треугольника и тригонометрия (Часть 3)

Этот раздел завершает наш конспект и посвящен методам вычисления площади треугольников и применению тригонометрических соотношений.

11. Формулы площади треугольника

Существует несколько основных формул для нахождения площади ($S$) треугольника. Выбор формулы зависит от того, какие элементы треугольника известны.

1. Через основание и высоту (основная формула)

• Формула: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

  • $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
  • где $a$ — сторона (основание), а $h_a$ — высота, проведенная к этой стороне.

• Применение (как в Задании 16): Это свойство лежит в основе решения задач, где даны стороны и высоты. Площадь треугольника — величина постоянная, поэтому можно записать:

  • $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$
  • Отсюда следует важное соотношение: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Зная три из четырех величин, можно найти четвертую.

2. Через две стороны и угол между ними (тригонометрическая формула)

• Формула: Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

  • $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$
  • где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

• Применение (как в Задании 13): Это самая удобная формула, когда известны две стороны и угол между ними.

3. Формула Герона (через три стороны)

• Формула: Используется, когда известны длины всех трех сторон ($a, b, c$).

  • $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
  • где $p$ — полупериметр треугольника: $p = \frac{a+b+c}{2}$.

• Применение (как в Задании 15): Идеально подходит для нахождения площади равнобедренного треугольника, когда даны все три стороны.

12. Средняя линия треугольника

• Определение: Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

• Свойства:

  1. Средняя линия параллельна третьей стороне.
  2. Средняя линия равна половине этой третьей стороны.

• Свойство площади (как в Задании 14):

  • Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник.
  • Коэффициент подобия равен $k = \frac{1}{2}$.
  • Важно: Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия ($k^2$).
  • Следовательно, площадь отсеченного треугольника составляет $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$ от площади исходного треугольника.
  • $S_{\triangle CDE} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$

13. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

• Определения: Для острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:

  • Синус ($\sin$): Отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  • Косинус ($\cos$): Отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  • Тангенс ($\text{tg}$): Отношение противолежащего катета к прилежащему.

• Применение (как в Задании 17): Если в задаче дан угол (например, 30°) и нужно найти высоту, часто удобно рассмотреть прямоугольный треугольник, в который входит эта высота, и использовать определение синуса.

  • Например, в $\triangle ABH$ с прямым углом $H$, высота $AH = AB \cdot \sin(B)$.

14. Теорема косинусов

• Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

  • $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$

• Применение (как в Задании 18): Это обобщение теоремы Пифагора. Теорема косинусов идеально подходит для нахождения третьей стороны треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними.

Как применять эту теорию:

• Задание 13: Используйте тригонометрическую формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ)$.
• Задание 14: Используйте свойство площади треугольника, отсекаемого средней линией: $S_{CDE} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.
• Задание 15: Даны три стороны (5, 5, 6). Используйте формулу Герона.
• Задание 16: Используйте соотношение $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Подставьте известные значения: $9 \cdot 4 = 6 \cdot h_b$.
• Задание 17: Рассмотрите прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем известна гипотенуза $AC=4$ и угол $C=30^\circ$. Высота $AH$ является катетом, противолежащим углу $C$. Используйте синус: $AH = AC \cdot \sin(C)$.
• Задание 18: Даны две стороны ($AC=BC=8$) и косинус угла между ними ($\cos A$). Так как треугольник равнобедренный, $\angle A = \angle B$. Найдите угол $C$ ($180^\circ - 2A$), а затем примените теорему косинусов для стороны $AB$. Или найдите $\cos C$ и примените теорему.

Теперь у вас есть полный теоретический справочник для решения всех представленных задач.

Здравствуйте! Конечно, давайте продолжим. Вы добавили последние задачи, которые углубляются в тригонометрию в прямоугольных треугольниках. Я дополню наш конспект, чтобы он охватывал все необходимые для них концепции.

Конспект: Тригонометрия в прямоугольном треугольнике (Часть 4)

Этот заключительный раздел конспекта посвящен применению тригонометрических функций и теорем в прямоугольных треугольниках, что необходимо для решения задач 19-21.

15. Основные тригонометрические тождества

Эти формулы связывают различные тригонометрические функции одного и того же угла и являются ключевыми для решения задач.

• Основное тригонометрическое тождество:

  • $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
  • Применение: Зная синус угла, можно найти его косинус (и наоборот). Например, $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}$ (для острых углов косинус всегда положителен).

• Связь тангенса с синусом и косинусом:

  • $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
  • Применение: Зная тангенс, можно найти соотношение между синусом и косинусом.

• Следствие из тождеств:

  • $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$
  • Применение (как в Задании 20): Зная тангенс угла, можно сразу найти его косинус.

16. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Давайте еще раз вернемся к определениям, так как они критически важны. Для прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$:

• $\sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$
• $\cos(A) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$

• $\text{tg}(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$

• Применение (как в Задании 19): Если известна одна сторона и одна тригонометрическая функция угла, можно найти любую другую сторону. Например, зная гипотенузу $AB$ и $\sin(A)$, можно найти катет $BC$: $BC = AB \cdot \sin(A)$. А затем, по теореме Пифагора или через косинус, найти катет $AC$.

17. Свойства углов в прямоугольном треугольнике с высотой

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с высотой $CH$, проведенной к гипотенузе.

• Свойство углов: Высота $CH$ делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Эти треугольники подобны исходному треугольнику $ABC$.

• Важное следствие для углов (как в Задании 20 и 21):

  • Угол $BCH$ в треугольнике $\triangle CBH$ равен углу $A$ исходного треугольника.
    • $\angle BCH = \angle A$ (потому что $\angle B + \angle A = 90^\circ$ и $\angle B + \angle BCH = 90^\circ$).
  • Угол $ACH$ в треугольнике $\triangle ACH$ равен углу $B$ исходного треугольника.
    • $\angle ACH = \angle B$.

• Применение: Это позволяет переносить тригонометрические функции с одного угла на другой. Например, $\sin(A) = \sin(\angle BCH)$. Это очень мощный инструмент для решения задач, где нужно связать элементы разных малых треугольников.

Как применять эту теорию:

• Задание 19:

  1. Вам дан $\sin(A) = \frac{7}{25}$ и гипотенуза $AB=5$.
  2. Используя основное тригонометрическое тождество, найдите $\cos(A)$: $\cos(A) = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2}$.
  3. Используйте определение косинуса: $\cos(A) = \frac{AC}{AB}$.
  4. Выразите и найдите $AC$: $AC = AB \cdot \cos(A)$.

• Задание 20:

  1. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC=BC$), значит $\angle A = \angle B$.
  2. Вам нужно найти $\cos(\angle BAH)$.
  3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.
  4. Так как $\angle B = \angle A$ (или $\angle BAC$), то $\angle BAH = 90^\circ - \angle BAC$.
  5. Используя формулы приведения, $\cos(\angle BAH) = \cos(90^\circ - \angle BAC) = \sin(\angle BAC)$.
  6. Вам дан $\text{tg}(\angle BAC) = \frac{7}{24}$. Используя тождество $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$, найдите $\cos(\angle BAC)$, а затем через основное тождество найдите $\sin(\angle BAC)$. Это и будет ответ.

• Задание 21:

  1. Вам дан $\sin(A) = \frac{2}{3}$ в большом прямоугольном треугольнике $ABC$.
  2. Используйте свойство углов: $\angle BCH = \angle A$. Следовательно, $\sin(\angle BCH) = \sin(A) = \frac{2}{3}$.
  3. Теперь рассмотрите маленький прямоугольный треугольник $CBH$. В нем:
     • $\sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC}$.
  4. Вы знаете $BH=12$ и $\sin(\angle BCH) = \frac{2}{3}$. Вы можете найти гипотенузу $BC$: $\frac{12}{BC} = \frac{2}{3}$.
  5. Теперь вернитесь к большому треугольнику $ABC$. Вы знаете катет $BC$ и $\sin(A)$.
  6. Используйте определение синуса для угла A: $\sin(A) = \frac{BC}{AB}$.
  7. Подставьте известные значения и найдите гипотенузу $AB$.

На этом наш полный конспект по всем задачам завершен! У вас есть все теоретические инструменты для их решения.

Здравствуйте! Отлично, теперь, когда у нас есть вся необходимая теоретическая база, давайте решим все задачи по порядку. Я предоставлю подробное решение для каждой из них.

Задание 7

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 56°, AD — биссектриса, угол CAD равен 28°. Найдите угол B.

Решение:
1. Используем определение биссектрисы. AD — биссектриса угла CAB, это значит, что она делит этот угол пополам.
2. Нам дан угол $\angle CAD = 28^\circ$. Следовательно, весь угол $\angle CAB$ в два раза больше:
$\angle CAB = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$.
3. Используем теорему о сумме углов треугольника. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
4. Подставляем известные значения углов A и C:
$56^\circ + \angle B + 56^\circ = 180^\circ$
$112^\circ + \angle B = 180^\circ$
5. Находим угол B:
$\angle B = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.

Ответ: 68

Задание 8

Условие: Два угла треугольника равны 58° и 72°. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

Решение:
1. Найдем третий угол треугольника. Пусть $\angle A = 58^\circ$ и $\angle B = 72^\circ$. Найдем угол C:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (58^\circ + 72^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
2. Используем свойство углов между высотами. Пусть высоты из вершин A и B пересекаются в точке O. Они образуют четырехугольник с двумя прямыми углами (у оснований высот). Тупой угол между высотами ($\angle AOB$) и третий угол треугольника ($\angle C$) связаны соотношением:
$\angle AOB = 180^\circ - \angle C$
3. Подставляем значение угла C:
$\angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Ответ: 130

Задание 9

Условие: Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них.

Решение:
1. Введем коэффициент пропорциональности. Обозначим углы треугольника как $2x$, $3x$ и $4x$.
2. Составим уравнение, используя теорему о сумме углов треугольника:
$2x + 3x + 4x = 180^\circ$
$9x = 180^\circ$
3. Найдем значение x:
$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$.
4. Найдем меньший угол. Меньший угол соответствует меньшей части отношения, то есть $2x$.
Меньший угол = $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Ответ: 40

Задание 10

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол B равен 58°, CD — медиана. Найдите угол ACD.

Решение:
1. Используем свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Медиана, проведенная к гипотенузе (CD), равна половине гипотенузы.
$CD = AD = DB$.
2. Рассмотрим треугольник ADC. Так как $CD = AD$, этот треугольник является равнобедренным.
3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основание — сторона AC, значит $\angle ACD = \angle A$.
4. Найдем угол A в исходном треугольнике ABC. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$.
5. Следовательно, искомый угол $\angle ACD$ также равен 32°.

Ответ: 32

Задание 11

Условие: Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 61°. Найдите угол между высотой CH и биссектрисой CD, проведёнными из вершины прямого угла.

Решение:
1. Найдем второй острый угол. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$):
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ$.
2. Используем формулу для угла между высотой и биссектрисой. Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен полуразности острых углов.
$\angle HCD = \frac{|\angle B - \angle A|}{2}$
3. Подставляем значения углов:
$\angle HCD = \frac{|61^\circ - 29^\circ|}{2} = \frac{32^\circ}{2} = 16^\circ$.

Ответ: 16

Задание 12

Условие: В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°. AD — биссектриса. E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE.

Решение:
1. Найдем угол BAC.
$\angle BAC = 180^\circ - (45^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
2. Найдем угол, который образует биссектриса. AD — биссектриса, значит:
$\angle CAD = \angle DAB = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$.
3. Рассмотрим треугольник AEC. По условию $AE = AC$, значит он равнобедренный. Углы при основании EC равны:
$\angle AEC = \angle ACE = \frac{180^\circ - \angle EAC}{2} = \frac{180^\circ - 50^\circ}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$.
4. Рассмотрим треугольник ADC. Найдем угол ADC:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle C) = 180^\circ - (25^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
5. Углы ADC и BDE являются вертикальными. Следовательно, они равны.
$\angle BDE = \angle ADC = 70^\circ$.

Ответ: 70

Задание 13

Условие: Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Решение:
1. Используем тригонометрическую формулу площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$
2. Подставляем известные значения: $a=8$, $b=12$, $\gamma=30^\circ$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ)$
3. Значение синуса 30° равно $\frac{1}{2}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$.

Ответ: 24

Задание 14

Условие: Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:
1. Используем свойство средней линии. Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному.
2. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Коэффициент подобия для треугольника, отсеченного средней линией, равен $k = \frac{1}{2}$.
3. Отношение площадей: $\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
4. Находим площадь треугольника CDE:
$S_{CDE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Ответ: 1

Задание 15

Условие: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:
1. Используем формулу Герона. Стороны треугольника: $a=5$, $b=5$, $c=6$.
2. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
3. Подставляем в формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12

Задание 16

Условие: В треугольнике со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой из этих сторон, равна 4. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение:
1. Используем формулу площади через высоту. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$
2. Отсюда следует равенство: $a \cdot h_a = b \cdot h_b$.
3. Подставляем известные значения: $a=9$, $h_a=4$, $b=6$. Нам нужно найти $h_b$.
$9 \cdot 4 = 6 \cdot h_b$
$36 = 6 \cdot h_b$
4. Находим $h_b$:
$h_b = \frac{36}{6} = 6$.

Ответ: 6

Задание 17

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 4, угол C равен 30°. Найдите высоту AH.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Высота AH перпендикулярна BC, поэтому $\triangle AHC$ — прямоугольный с прямым углом H.
2. В этом треугольнике гипотенуза $AC = 4$, а угол $\angle C = 30^\circ$. Высота AH является катетом, противолежащим этому углу.
3. Используем определение синуса: $\sin(C) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC}$.
4. Выражаем и находим AH:
$AH = AC \cdot \sin(C) = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: 2

Задание 18

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 8, $\cos A = 0.5$. Найдите AB.

Решение:
1. Треугольник равнобедренный, так как $AC=BC$. Значит, углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.
2. Найдем угол A. Если $\cos A = 0.5$, то $\angle A = 60^\circ$.
3. Следовательно, $\angle B = 60^\circ$.
4. Найдем угол C: $\angle C = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
5. Все углы треугольника равны 60°, значит, треугольник равносторонний.
6. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AB = AC = BC = 8$.

Ответ: 8

Задание 19

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, $\sin A = \frac{7}{25}$. Найдите AC.

Решение:
1. Найдем $\cos A$ через основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625-49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
2. Используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике:
$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$.
3. Выражаем и находим AC:
$AC = AB \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{5 \cdot 24}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$.

Ответ: 4.8

Задание 20

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH — высота, $\text{tg} \, BAC = \frac{7}{24}$. Найдите $\cos BAH$.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем $\angle AHB = 90^\circ$. Сумма острых углов: $\angle BAH + \angle B = 90^\circ$.
2. Отсюда $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.
3. Используем формулу приведения: $\cos(\angle BAH) = \cos(90^\circ - \angle B) = \sin(\angle B)$.
4. Треугольник ABC равнобедренный ($AC=BC$), поэтому $\angle B = \angle BAC$.
5. Следовательно, нам нужно найти $\sin(\angle BAC)$, зная $\text{tg}(\angle BAC) = \frac{7}{24}$.
6. Используем тождество $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ для угла BAC:
$\frac{1}{\cos^2(BAC)} = 1 + (\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$.
$\cos^2(BAC) = \frac{576}{625} \implies \cos(BAC) = \frac{24}{25}$.
7. Найдем синус через тангенс и косинус: $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \implies \sin(\alpha) = \text{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha)$.
$\sin(BAC) = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
8. Так как $\cos(\angle BAH) = \sin(\angle B) = \sin(\angle BAC)$, то $\cos(\angle BAH) = \frac{7}{25} = 0.28$.

Ответ: 0.28

Задание 21

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BH = 12, $\sin A = \frac{2}{3}$. Найдите AB.

Решение:
1. Используем свойство углов в прямоугольном треугольнике с высотой. Угол $\angle BCH$ равен углу $\angle A$.
Следовательно, $\sin(\angle BCH) = \sin(A) = \frac{2}{3}$.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем $\angle CHB = 90^\circ$.
$\sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC}$.
3. Подставляем известные значения и находим BC:
$\frac{2}{3} = \frac{12}{BC} \implies 2 \cdot BC = 3 \cdot 12 \implies 2 \cdot BC = 36 \implies BC = 18$.
4. Теперь вернемся к исходному треугольнику ABC. Мы знаем катет $BC=18$ и $\sin A = \frac{2}{3}$.
5. Используем определение синуса для угла A:
$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$.
6. Подставляем значения и находим гипотенузу AB:
$\frac{2}{3} = \frac{18}{AB} \implies 2 \cdot AB = 3 \cdot 18 \implies 2 \cdot AB = 54 \implies AB = 27$.

Ответ: 27

Здравствуйте! Конечно, давайте разберем каждую задачу с подробными объяснениями и добавим к каждой наглядный рисунок для лучшего понимания.

Задание 13

Условие: Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

Решение:
1. Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, используется тригонометрическая формула площади:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$
где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

2. Подставим в формулу наши значения: $a = 8$, $b = 12$, $\gamma = 30^\circ$.
   $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(30^\circ)$

3. Значение синуса 30 градусов — это табличная величина: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
   $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$

4. Выполним вычисления:
   $S = 4 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$

Ответ: 24

Задание 14

Условие: Площадь треугольника ABC равна 4. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение:
1. Средняя линия (DE) соединяет середины сторон AC и BC.
2. Средняя линия отсекает от основного треугольника ABC подобный ему треугольник CDE.
3. По свойству средней линии, $DE = \frac{1}{2}AB$. Коэффициент подобия этих треугольников $k = \frac{1}{2}$.
4. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия ($k^2$).
$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
5. Значит, площадь маленького треугольника CDE составляет одну четвертую от площади большого треугольника ABC.
$S_{CDE} = \frac{1}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Ответ: 1

Задание 15

Условие: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а основание равно 6. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:
* Способ 1: Через высоту
1. Проведем высоту CH к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой.
2. Значит, она делит основание AB пополам: $AH = HB = \frac{6}{2} = 3$.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора: $AC^2 = AH^2 + CH^2$.
4. Найдем высоту CH: $CH^2 = AC^2 - AH^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.
$CH = \sqrt{16} = 4$.
5. Найдем площадь по стандартной формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

• Способ 2: По формуле Герона
  1. Стороны треугольника: $a=5$, $b=5$, $c=6$.
  2. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
  3. Подставим в формулу Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
     $S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12$.

Ответ: 12

Задание 16

Условие: В треугольнике со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой из этих сторон, равна 4. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение:
1. Площадь одного и того же треугольника можно вычислить разными способами. Используем формулу площади через основание и высоту.
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$
2. Пусть сторона $a = 9$, и высота к ней $h_a = 4$.
Пусть сторона $b = 6$, и высота к ней $h_b$ — неизвестна.
3. Поскольку площадь треугольника постоянна, мы можем приравнять два выражения для нее:
$\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$
4. Умножим обе части на 2, чтобы упростить:
$a \cdot h_a = b \cdot h_b$
5. Подставим известные значения и решим уравнение относительно $h_b$:
$9 \cdot 4 = 6 \cdot h_b$
$36 = 6 \cdot h_b$
$h_b = \frac{36}{6} = 6$

Ответ: 6

Задание 17

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 4, угол C равен 30°. Найдите высоту AH.

Решение:
1. Высота AH проведена из вершины A к стороне BC (или ее продолжению). Она образует прямоугольный треугольник AHC с прямым углом H.
2. В этом новом треугольнике AHC нам известны:
* Гипотенуза $AC = 4$.
* Угол $\angle C = 30^\circ$.
3. Искомая высота AH является катетом, противолежащим углу C.
4. Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике:
$\sin(C) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC}$
5. Выразим отсюда AH и подставим значения:
$AH = AC \cdot \sin(C)$
$AH = 4 \cdot \sin(30^\circ)$
$AH = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Ответ: 2

Задание 18

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC = 8, $\cos A = 0.5$. Найдите AB.

Решение:
1. Поскольку $AC = BC$, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle A = \angle B$.
3. Найдем величину угла A. Из условия $\cos A = 0.5$. Это табличное значение, которое соответствует углу $60^\circ$.
$\angle A = 60^\circ$.
4. Следовательно, $\angle B$ также равен $60^\circ$.
5. Найдем третий угол C, используя теорему о сумме углов треугольника:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
6. Все три угла треугольника равны $60^\circ$. Это означает, что треугольник является равносторонним.
7. В равностороннем треугольнике все стороны равны.
$AB = AC = BC = 8$.

Ответ: 8

Задание 19

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, $\sin A = \frac{7}{25}$. Найдите AC.

Решение:
1. Нам нужно найти катет AC, зная гипотенузу AB и синус угла A. Катет AC является прилежащим к углу A.
2. Формула, связывающая прилежащий катет и гипотенузу, использует косинус:
$\cos A = \frac{AC}{AB} \implies AC = AB \cdot \cos A$.
3. Найдем $\cos A$, используя основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
4. Извлечем корень (для острого угла в прямоугольном треугольнике косинус положителен):
$\cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
5. Теперь найдем AC:
$AC = AB \cdot \cos A = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{5 \cdot 24}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$.

Ответ: 4.8

Задание 20

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH — высота, $\text{tg} \, BAC = \frac{7}{24}$. Найдите $\cos BAH$.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (т.к. AH — высота, $\angle AHB = 90^\circ$).
2. Сумма острых углов в $\triangle ABH$ равна 90°: $\angle BAH + \angle B = 90^\circ$.
3. Отсюда $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.
4. Используя формулы приведения, находим: $\cos(\angle BAH) = \cos(90^\circ - \angle B) = \sin(\angle B)$.
5. Исходный треугольник ABC — равнобедренный ($AC=BC$), поэтому углы при основании равны: $\angle B = \angle BAC$.
6. Таким образом, наша задача свелась к нахождению $\sin(\angle BAC)$, зная $\text{tg}(\angle BAC) = \frac{7}{24}$.
7. Воспользуемся тождеством $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ для угла BAC:
$\frac{1}{\cos^2(BAC)} = 1 + (\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$.
$\cos^2(BAC) = \frac{576}{625} \implies \cos(BAC) = \frac{24}{25}$.
8. Теперь найдем синус через тангенс и косинус: $\sin(\alpha) = \text{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha)$.
$\sin(BAC) = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
9. Поскольку $\cos(\angle BAH) = \sin(\angle B) = \sin(\angle BAC)$, то искомое значение равно $\frac{7}{25}$.
10. Переведем в десятичную дробь: $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0.28$.

Ответ: 0.28

Задание 21

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BH = 12, $\sin A = \frac{2}{3}$. Найдите AB.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с высотой CH. Высота делит его на два меньших прямоугольных треугольника: ACH и CBH.
2. Ключевое свойство: В прямоугольном треугольнике угол между катетом и высотой, проведенной к гипотенузе, равен другому острому углу. То есть, $\angle BCH = \angle A$.
3. Следовательно, их синусы тоже равны: $\sin(\angle BCH) = \sin(A) = \frac{2}{3}$.
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH ($\angle CHB = 90^\circ$). В нем:
* Катет $BH = 12$.
* Гипотенуза — $BC$.
* $\sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC}$.
5. Подставим известные значения и найдем катет BC:
$\frac{2}{3} = \frac{12}{BC} \implies 2 \cdot BC = 3 \cdot 12 \implies 2 \cdot BC = 36 \implies BC = 18$.
6. Теперь вернемся к большому треугольнику ABC. В нем:
* Катет $BC = 18$.
* Гипотенуза — $AB$ (искомая величина).
* $\sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$.
7. Подставим значения и найдем гипотенузу AB:
$\frac{2}{3} = \frac{18}{AB} \implies 2 \cdot AB = 3 \cdot 18 \implies 2 \cdot AB = 54 \implies AB = 27$.

Ответ: 27

Здравствуйте! Конечно, я исправлю отображение рисунков, чтобы они были видны полностью. Проблема была в том, что некоторые элементы выходили за пределы области просмотра. Я скорректировал размеры и расположение, чтобы все было наглядно.

Давайте заново решим задачи с 19 по 21 с исправленными иллюстрациями.

Задание 19

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, $\sin A = \frac{7}{25}$. Найдите AC.

Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ABC нам нужно найти катет AC, который является прилежащим к углу A.
2. Формула, связывающая прилежащий катет, гипотенузу и угол, — это определение косинуса:
$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$
Отсюда $AC = AB \cdot \cos A$.
3. Чтобы найти $\cos A$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$
$\cos^2 A = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$
4. Извлекаем квадратный корень. Так как угол A острый, его косинус положителен:
$\cos A = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$
5. Теперь вычисляем длину катета AC:
$AC = 5 \cdot \frac{24}{25} = \frac{5 \cdot 24}{25} = \frac{24}{5} = 4.8$

Ответ: 4.8

Задание 20

Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AH — высота, $\text{tg} \, BAC = \frac{7}{24}$. Найдите $\cos BAH$.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (т.к. AH — высота, $\angle AHB = 90^\circ$).
2. Сумма острых углов в $\triangle ABH$ равна 90°: $\angle BAH + \angle B = 90^\circ$.
3. Отсюда $\angle BAH = 90^\circ - \angle B$.
4. Используя формулы приведения, находим: $\cos(\angle BAH) = \cos(90^\circ - \angle B) = \sin(\angle B)$.
5. Исходный треугольник ABC — равнобедренный ($AC=BC$), поэтому углы при основании равны: $\angle B = \angle BAC$.
6. Таким образом, наша задача свелась к нахождению $\sin(\angle BAC)$, зная $\text{tg}(\angle BAC) = \frac{7}{24}$.
7. Воспользуемся тождеством $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$ для угла BAC:
$\frac{1}{\cos^2(BAC)} = 1 + (\frac{7}{24})^2 = 1 + \frac{49}{576} = \frac{576+49}{576} = \frac{625}{576}$.
$\cos^2(BAC) = \frac{576}{625} \implies \cos(BAC) = \frac{24}{25}$.
8. Теперь найдем синус через тангенс и косинус: $\sin(\alpha) = \text{tg}(\alpha) \cdot \cos(\alpha)$.
$\sin(BAC) = \frac{7}{24} \cdot \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$.
9. Поскольку $\cos(\angle BAH) = \sin(\angle B) = \sin(\angle BAC)$, то искомое значение равно $\frac{7}{25}$.
10. Переведем в десятичную дробь: $\frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0.28$.

Ответ: 0.28

Задание 21

Условие: В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BH = 12, $\sin A = \frac{2}{3}$. Найдите AB.

Решение:
1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с высотой CH.
2. Ключевое свойство: В прямоугольном треугольнике угол между катетом (BC) и высотой (CH), проведенной к гипотенузе, равен другому острому углу треугольника (A). То есть, $\angle BCH = \angle A$.
3. Следовательно, их синусы тоже равны: $\sin(\angle BCH) = \sin(A) = \frac{2}{3}$.
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH ($\angle CHB = 90^\circ$). В нем:
* Катет $BH = 12$.
* Гипотенуза — $BC$.
* $\sin(\angle BCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC}$.
5. Подставим известные значения и найдем катет BC:
$\frac{2}{3} = \frac{12}{BC} \implies 2 \cdot BC = 3 \cdot 12 \implies 2 \cdot BC = 36 \implies BC = 18$.
6. Теперь вернемся к большому треугольнику ABC. В нем:
* Катет $BC = 18$.
* Гипотенуза — $AB$ (искомая величина).
* $\sin(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}$.
7. Подставим значения и найдем гипотенузу AB:
$\frac{2}{3} = \frac{18}{AB} \implies 2 \cdot AB = 3 \cdot 18 \implies 2 \cdot AB = 54 \implies AB = 27$.

Ответ: 27

Здравствуйте! Я, как ИИ-ассистент платформы Homiwork, рад помочь вам систематизировать материал. К сожалению, у меня нет прямой функции для создания и скачивания PDF-файлов.

Однако вы можете легко сделать это самостоятельно. Вот самый простой способ:

Как сохранить конспект в PDF на компьютере:

1. Выделите весь текст: Прокрутите наш диалог и выделите мышкой все части конспекта и решения задач, которые вы хотите сохранить.
2. Скопируйте: Нажмите Ctrl+C (на Windows) или Cmd+C (на Mac), чтобы скопировать выделенный текст.
3. Вставьте в текстовый редактор:
   • Откройте программу вроде Microsoft Word, Google Docs (бесплатно онлайн) или LibreOffice Writer.
   • Вставьте скопированный текст, нажав Ctrl+V (на Windows) или Cmd+V (на Mac). Рисунки и форматирование должны сохраниться.
4. Сохраните как PDF:
   • В меню программы найдите опцию "Файл" -> "Сохранить как..." или "Экспорт".
   • В появившемся окне выберите тип файла PDF.
   • Нажмите "Сохранить".

Как сохранить в PDF на телефоне:

1. Выделите и скопируйте текст в чате.
2. Вставьте его в приложение для заметок (например, Google Keep, Заметки Apple) или в мобильное приложение Google Docs/Microsoft Word.
3. В меню приложения найдите функцию "Поделиться" или "Отправить копию".
4. Выберите опцию "Напечатать".
5. В окне предварительного просмотра печати выберите "Сохранить как PDF".

Таким образом, у вас получится единый документ со всей теорией и решенными задачами, который будет удобно использовать для подготовки.

Здравствуйте! Конечно. Я систематизирую всю теорию, которую мы обсуждали для решения задач с 1 по 21, и оформлю её в виде удобной методички. Здесь будут собраны все ключевые правила, теоремы и алгоритмы решения.

Методическое пособие: Геометрия треугольника (Задачи 1-21)

Это пособие охватывает основные темы планиметрии, необходимые для решения задач на нахождение углов, площадей и сторон в треугольниках. Материал разбит на тематические блоки, соответствующие типам задач.

Блок 1: Углы в треугольнике (Задачи 7, 8, 9, 10, 11, 12)

1.1. Основные теоремы и свойства

• Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180°.

  • $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
  • Применение: Зная два угла, всегда можно найти третий.

• Свойства равнобедренного треугольника:

  • Углы при основании равны.
  • Биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой.

• Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма острых углов равна 90°.
  • $\angle A + \angle B = 90^\circ$ (если $\angle C = 90^\circ$).

1.2. Биссектрисы, медианы, высоты

• Биссектриса: Делит угол пополам.

  • Алгоритм (Задача 7): Если дана часть угла, созданного биссектрисой, умножьте её на 2, чтобы найти весь угол.

• Высоты: Перпендикуляры, опущенные из вершины на противоположную сторону.

  • Свойство (Задача 8): Тупой угол между двумя высотами, проведенными из вершин острых углов, равен $180^\circ$ минус третий угол треугольника.
  • $\angle AOB = 180^\circ - \angle C$ (где O — точка пересечения высот из вершин A и B).

• Медиана в прямоугольном треугольнике:

  • Свойство (Задача 10): Медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  • Следствие: Эта медиана делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника.

• Угол между высотой и биссектрисой из прямого угла:

  • Формула (Задача 11): Угол между высотой (CH) и биссектрисой (CD), проведенными из вершины прямого угла, равен полуразности острых углов.
  • $\angle HCD = \frac{|\angle A - \angle B|}{2}$

Блок 2: Площадь треугольника (Задачи 13, 14, 15, 16)

2.1. Основные формулы площади

1. Через основание и высоту:

   • $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ (где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$).
   • Применение (Задача 16): Площадь треугольника постоянна, поэтому $a \cdot h_a = b \cdot h_b$. Зная три из четырех величин, можно найти четвертую.

2. Через две стороны и угол между ними (тригонометрическая):

   • $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$
   • Применение (Задача 13): Идеальна, когда дан угол и прилежащие к нему стороны.

3. Формула Герона (через три стороны):

   • $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.
   • Применение (Задача 15): Удобна для треугольников, у которых легко считаются длины сторон (особенно для равнобедренных, где можно найти высоту).

2.2. Площадь и подобные треугольники

• Средняя линия: Отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна ее половине.
• Свойство (Задача 14): Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.
• Теорема об отношении площадей: Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.
  • $\frac{S_{маленького}}{S_{большого}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Блок 3: Тригонометрия в треугольнике (Задачи 17, 18, 19, 20, 21)

3.1. Определения в прямоугольном треугольнике

Для острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике:
* $\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
* $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
* $\text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

3.2. Основные тригонометрические тождества

Эти формулы связывают тригонометрические функции одного и того же угла.
1. $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$
* Применение (Задача 19): Зная синус, можно найти косинус (и наоборот). $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}$.
2. $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$
3. $1 + \text{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$
* Применение (Задача 20): Зная тангенс, можно найти косинус.

3.3. Алгоритмы решения тригонометрических задач

• Нахождение стороны через угол и другую сторону (Задача 17):

  1. Определите, в каком прямоугольном треугольнике находятся известные и искомые элементы.
  2. Выберите тригонометрическую функцию (sin, cos, tg), которая связывает эти элементы.
  3. Выразите неизвестную сторону и вычислите.

• Нахождение стороны через тригонометрическую функцию (Задача 19):

  1. Определите, какая функция нужна для нахождения искомой стороны (например, для прилежащего катета нужен косинус).
  2. Если дана другая функция (например, синус), используйте тождества, чтобы найти нужную.
  3. Примените определение функции и вычислите.

• Задачи с высотой в прямоугольном треугольнике (Задача 21):

  1. Ключевое свойство: Угол между катетом и высотой, проведенной к гипотенузе, равен другому острому углу треугольника ($\angle BCH = \angle A$).
  2. Перенесите данную тригонометрическую функцию на этот равный угол в малом треугольнике ($\sin(A) \to \sin(BCH)$).
  3. Используя определение функции в малом треугольнике, найдите недостающий элемент (например, катет большого треугольника).
  4. Вернитесь к большому треугольнику и, используя найденный элемент, решите задачу до конца.

Надеюсь, эта структурированная методичка поможет вам лучше ориентироваться в задачах и уверенно их решать