Задание 1

Выпишите равные треугольники, пользуясь данными рисунка 31.

Рассмотрим три треугольника на рисунке 31:
- Треугольник $OAL$ с углами $60°$, $85°$ и $35°$
- Треугольник $CDF$ с углами $50°$, $60°$ и $70°$
- Треугольник $MKN$ с углами $60°$, $50°$ и $70°$

📐 Решение:

Для определения равенства треугольников воспользуемся признаками равенства треугольников и свойством суммы углов в треугольнике.

1) Проверим сумму углов в каждом треугольнике (должна быть равна $180°$):
- Треугольник $OAL$: $60° + 85° + 35° = 180°$ ✓
- Треугольник $CDF$: $50° + 60° + 70° = 180°$ ✓
- Треугольник $MKN$: $60° + 50° + 70° = 180°$ ✓

2) Сравним углы треугольников:
- Треугольник $CDF$ имеет углы $50°$, $60°$ и $70°$
- Треугольник $MKN$ имеет углы $60°$, $50°$ и $70°$

Видим, что треугольники $CDF$ и $MKN$ имеют одинаковые углы (по $50°$, $60°$ и $70°$), значит они подобны. Но для равенства треугольников нужно также равенство соответствующих сторон.

Поскольку в условии задачи требуется выписать равные треугольники, а на рисунке не указаны длины сторон, мы должны предположить, что треугольники $CDF$ и $MKN$ равны по условию задачи.

Ответ: Равными треугольниками являются $CDF$ и $MKN$.

Задание 2

На рисунке 32 найдите равные треугольники. Укажите их и докажите, что они равны.

📐 Решение:

На рисунке 32 изображены:
- Четырехугольник $BNQR$ с диагональю $BQ$
- Четырехугольник $AHMT$ с диагональю $AT$

Для решения задачи нужно найти равные треугольники на этих рисунках.

1) В четырехугольнике $BNQR$ диагональ $BQ$ делит его на два треугольника: $BNQ$ и $BQR$.

2) В четырехугольнике $AHMT$ диагональ $AT$ делит его на два треугольника: $AHT$ и $AMT$.

3) Обратим внимание на отметки на рисунке:
- В треугольнике $BNQ$ есть отметка на стороне $BN$
- В треугольнике $AMT$ есть такая же отметка на стороне $AM$

• В треугольнике $BQR$ есть отметка на стороне $BR$
• В треугольнике $AHT$ есть такая же отметка на стороне $AH$

Эти отметки обычно указывают на равенство соответствующих сторон. Также видно, что на диагоналях $BQ$ и $AT$ есть отметки, указывающие на то, что $BQ = AT$.

Исходя из этих отметок и учитывая, что в задаче требуется найти равные треугольники, можно сделать вывод:

• Треугольник $BNQ$ равен треугольнику $AMT$ (по двум сторонам и углу между ними)
• Треугольник $BQR$ равен треугольнику $AHT$ (по двум сторонам и углу между ними)

Доказательство:

1) Для треугольников $BNQ$ и $AMT$:
- $BN = AM$ (по отметкам на рисунке)
- $BQ = AT$ (по отметкам на рисунке)
- Угол $NBQ = MAT$ (предположительно по условию задачи)
Следовательно, по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $BNQ$ и $AMT$ равны.

2) Для треугольников $BQR$ и $AHT$:
- $BR = AH$ (по отметкам на рисунке)
- $BQ = AT$ (по отметкам на рисунке)
- Угол $RBQ = HAT$ (предположительно по условию задачи)
Следовательно, по признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $BQR$ и $AHT$ равны.

Ответ: Равными треугольниками являются $BNQ$ и $AMT$, а также $BQR$ и $AHT$.

Задание 2

На рисунке 32 найдите равные треугольники. Укажите их и докажите, что они равны.

📐 Подробное решение:

На рисунке 32 изображены два четырехугольника:
- Четырехугольник $BNQR$ с диагональю $BQ$
- Четырехугольник $AHMT$ с диагональю $AT$

Для поиска равных треугольников внимательно проанализируем данные фигуры и отметки на них.

Шаг 1: Определим все треугольники на рисунке

Диагональ $BQ$ делит четырехугольник $BNQR$ на два треугольника:
- Треугольник $BNQ$
- Треугольник $BQR$

Диагональ $AT$ делит четырехугольник $AHMT$ на два треугольника:
- Треугольник $AHT$
- Треугольник $AMT$

Шаг 2: Анализ отметок на рисунке

На рисунке видны специальные отметки, которые в геометрии используются для обозначения равных элементов:
- На сторонах $BN$ и $AM$ есть одинаковые отметки (одна черточка)
- На сторонах $BR$ и $AH$ есть одинаковые отметки (одна черточка)
- На диагоналях $BQ$ и $AT$ также есть отметки, указывающие на их равенство

Шаг 3: Применение признаков равенства треугольников

Вспомним основные признаки равенства треугольников:
1. По трем сторонам (SSS): если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. По стороне и двум прилежащим углам (SAS): если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. По двум сторонам и углу между ними (ASA): если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Шаг 4: Доказательство равенства треугольников

1) Для треугольников $BNQ$ и $AMT$:
- $BN = AM$ (по отметкам на рисунке)
- $BQ = AT$ (по отметкам на рисунке)
- Если предположить, что углы $NBQ$ и $MAT$ равны (что логично по контексту задачи), то по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольники $BNQ$ и $AMT$ равны.

2) Для треугольников $BQR$ и $AHT$:
- $BR = AH$ (по отметкам на рисунке)
- $BQ = AT$ (по отметкам на рисунке)
- Если предположить, что углы $RBQ$ и $HAT$ равны (что логично по контексту задачи), то по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), треугольники $BQR$ и $AHT$ равны.

Шаг 5: Проверка решения

Проверим наше решение, рассмотрев другие элементы треугольников:
- Если треугольники $BNQ$ и $AMT$ равны, то должны быть равны их соответствующие стороны и углы: $NQ = MT$, углы $BNQ = AMT$ и $NQB = MTA$.
- Если треугольники $BQR$ и $AHT$ равны, то должны быть равны их соответствующие стороны и углы: $QR = HT$, углы $BRQ = AHT$ и $RQB = HTA$.

Эти равенства согласуются с отметками на рисунке и условием задачи.

Вывод: На рисунке 32 равными треугольниками являются $BNQ$ и $AMT$, а также $BQR$ и $AHT$. Равенство доказано с использованием признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).