Задание 1

На прямой расположены точки A, B, C, причем AB = 5 см, BC = 7 см. Какой может быть длина отрезка AC?

Решение:

Точки A, B, и C могут располагаться на прямой в разном порядке. Рассмотрим возможные случаи:

1. Точка B находится между A и C: В этом случае, AC = AB + BC = 5 см + 7 см = 12 см.

2. Точка A находится между B и C: В этом случае, BC = BA + AC, следовательно, AC = BC - BA = 7 см - 5 см = 2 см.

3. Точка C находится между A и B: В этом случае, AB = AC + CB, следовательно, AC = AB - CB = 5 см - 7 см = -2 см. Этот случай невозможен, так как длина отрезка не может быть отрицательной.

Ответ: Длина отрезка AC может быть 12 см или 2 см.

Задание 2

На прямой отмечены точки A, B, M. Найдите длину AM и MB, если AB = 6 см, MA + MB = 9 см.

Решение:

Пусть AM = x. Тогда MB = 9 - x.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Точка M находится между A и B: В этом случае, AM + MB = AB, то есть x + (9 - x) = 6. Это уравнение не имеет решения, так как 9 = 6 - противоречие.

2. Точка A находится между M и B: В этом случае, MA + AB = MB, то есть x + 6 = 9 - x. Решим это уравнение:
   * 2x = 3
   * x = 1.5
   Тогда AM = 1.5 см, MB = 9 - 1.5 = 7.5 см.

3. Точка B находится между M и A: В этом случае, MB + BA = MA, то есть (9 - x) + 6 = x. Решим это уравнение:
   * 15 - x = x
   * 2x = 15
   * x = 7.5
   Тогда AM = 7.5 см, MB = 9 - 7.5 = 1.5 см.

Ответ: AM = 1.5 см, MB = 7.5 см или AM = 7.5 см, MB = 1.5 см.

Задание 3

Прямой угол ADB разделен лучом DC на два угла, причем один угол на 9° больше другого. Найдите градусные меры этих углов.

Решение:

Пусть меньший угол равен x. Тогда больший угол равен x + 9°.

Так как угол ADB прямой, то сумма этих двух углов равна 90°.

Составим уравнение:

x + (x + 9°) = 90°

Решим уравнение:

2x + 9° = 90°

2x = 81°

x = 40.5°

Тогда меньший угол равен 40.5°, а больший угол равен 40.5° + 9° = 49.5°.

Ответ: 40.5° и 49.5°.

Задание 4

Угол AOB, равный 124°, лучом OC разделен на два угла, разность которых равна 34°. Найдите эти углы. Чему равен угол, образованный лучом OC и биссектрисой угла AOB.

Решение:

Пусть меньший угол равен x. Тогда больший угол равен x + 34°.

Сумма этих двух углов равна 124°.

Составим уравнение:

x + (x + 34°) = 124°

Решим уравнение:

2x + 34° = 124°

2x = 90°

x = 45°

Тогда меньший угол равен 45°, а больший угол равен 45° + 34° = 79°.

Теперь найдем угол между лучом OC и биссектрисой угла AOB. Биссектриса делит угол AOB пополам, то есть угол между биссектрисой и стороной OA равен 124° / 2 = 62°.

Рассмотрим два случая:

1. OC находится между OA и биссектрисой: В этом случае, угол между OC и биссектрисой равен 62° - 45° = 17°.

2. Биссектриса находится между OA и OC: В этом случае, угол между OC и биссектрисой равен 79° - 62° = 17°.

Ответ: Углы равны 45° и 79°. Угол между лучом OC и биссектрисой угла AOB равен 17°.