Задание 1: На каком из рисунков изображен равнобедренный треугольник?

Равнобедренный треугольник - это треугольник, у которого две стороны равны. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• a) Углы 30° и 70°. Третий угол равен 180° - 30° - 70° = 80°. Все углы разные, следовательно, треугольник не равнобедренный.
• б) Прямоугольный треугольник с углом 45°. Второй угол равен 90°, значит, третий угол равен 180° - 90° - 45° = 45°. Так как два угла равны, то треугольник равнобедренный.
• в) Углы 41° и 100°. Третий угол равен 180° - 41° - 100° = 39°. Все углы разные, следовательно, треугольник не равнобедренный.
• г) Углы 35° и 80°. Третий угол равен 180° - 35° - 80° = 65°. Все углы разные, следовательно, треугольник не равнобедренный.

Ответ: б) - равнобедренный треугольник.

Задание 2: Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите меньший угол треугольника.

Пусть углы треугольника равны $2x$, $3x$ и $4x$. Сумма углов треугольника равна 180°.

1. Составим уравнение:
   $2x + 3x + 4x = 180$

2. Решим уравнение:
   $9x = 180$
   $x = \frac{180}{9}$
   $x = 20$

3. Найдем углы треугольника:

   • $2x = 2 * 20 = 40°$
   • $3x = 3 * 20 = 60°$
   • $4x = 4 * 20 = 80°$

Меньший угол треугольника равен 40°.

Ответ: 40°

Задание 3: В $\triangle ABC$ (рисунок) на стороне $AC$ взята точка $K$, $AK = BK = KC$, угол $ABK$ равен $58°$. Найдите угол $CBK$.

1. Рассмотрим $\triangle ABK$. Так как $AK = BK$, то $\triangle ABK$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle BAK = \angle ABK = 58°$.

2. Рассмотрим $\triangle BKC$. Так как $BK = KC$, то $\triangle BKC$ - равнобедренный. Следовательно, $\angle KBC = \angle KCB$.

3. Найдем $\angle AKB$. $\angle AKB = 180° - \angle BAK - \angle ABK = 180° - 58° - 58° = 180° - 116° = 64°$.

4. $\angle BKC$ является смежным с $\angle AKB$, следовательно, $\angle BKC = 180° - \angle AKB = 180° - 64° = 116°$.

5. В $\triangle BKC$: $\angle KBC + \angle KCB + \angle BKC = 180°$. Так как $\angle KBC = \angle KCB$, то $2 * \angle KBC + 116° = 180°$.

6. Найдем $\angle KBC$: $2 * \angle KBC = 180° - 116° = 64°$. $\angle KBC = \frac{64}{2} = 32°$.

Ответ: $\angle CBK = 32°$

Задание 4: В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90°$, биссектриса $AK$ равна 20 см, $\angle AKB = 120°$. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $AB$.

1. Найдем $\angle KAB$. Так как $\angle AKB = 120°$, то $\angle CAK = 180° - 120° = 60°$. Так как $AK$ - биссектриса, то $\angle CAB = 2 * \angle CAK = 2 * 60° = 120°$. Но в прямоугольном треугольнике не может быть угол больше 90 градусов. Значит в условии ошибка. $\angle AKB = 120°$ быть не может, если $AK$ - биссектриса.

Предположим, что $\angle AKC = 120°$, тогда $\angle CAK = 180° - 120° = 60°$. Так как $AK$ - биссектриса, то $\angle CAB = 2 * \angle CAK = 2 * 60° = 120°$. Но в прямоугольном треугольнике не может быть угол больше 90 градусов. Значит в условии ошибка.

Предположим, что $\angle AKC = 120°$, тогда $\angle KAC = 180° - 90° - \angle AKC = 180° - 90° - 120° = -30°$. Этого не может быть.

Предположим, что $\angle ABK = 120°$, тогда $\angle BAK = 180° - 120° - 90° = -30°$. Этого не может быть.

Предположим, что $\angle BAK = 120°$, тогда $\angle ABK = 180° - 120° - 90° = -30°$. Этого не может быть.

2. Пусть $\angle AKB = 120°$. Тогда $\angle KAB = 180° - 120° - \angle ABK = 60° - \angle ABK$. Так как $AK$ - биссектриса, то $\angle CAB = 2 * \angle KAB = 120° - 2 * \angle ABK$. Так как $\angle C = 90°$, то $\angle ABC = 90° - \angle CAB = 90° - (120° - 2 * \angle ABK) = 2 * \angle ABK - 30°$. Тогда $\angle ABK = \angle ABC = 2 * \angle ABK - 30°$, следовательно $\angle ABK = 30°$. Тогда $\angle KAB = 60° - 30° = 30°$, следовательно $\angle CAB = 60°$, следовательно $\angle ABC = 30°$.

3. Пусть $KD$ - расстояние от точки $K$ до прямой $AB$. Тогда $\triangle AKD$ - прямоугольный, $\angle KAD = 30°$, $AK = 20$ см. Тогда $KD = AK * sin(\angle KAD) = 20 * sin(30°) = 20 * \frac{1}{2} = 10$ см.

Ответ: 10 см