Задание 1

Дано:
- Прямые $a \parallel b$
- $c$ - секущая
- $\angle 4 + \angle 6 = 78°$

Решение:
1) При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются следующие пары углов:
- Накрест лежащие углы равны: $\angle 3 = \angle 6$, $\angle 4 = \angle 5$
- Соответственные углы равны: $\angle 1 = \angle 5$, $\angle 2 = \angle 6$, $\angle 3 = \angle 7$, $\angle 4 = \angle 8$
- Сумма односторонних углов равна 180°: $\angle 4 + \angle 6 = 78°$, $\angle 3 + \angle 5 = 180°$

2) По условию $\angle 4 + \angle 6 = 78°$

3) Так как $\angle 4 = \angle 5$ и $\angle 3 = \angle 6$, то:
- $\angle 5 + \angle 3 = 180°$ (односторонние углы)
- $\angle 4 + \angle 6 = 78°$
- $\angle 4 = \angle 5 = 39°$ (т.к. углы равны)
- $\angle 3 = \angle 6 = 39°$

4) Зная эти углы, находим остальные:
- $\angle 1 = \angle 5 = 39°$
- $\angle 2 = \angle 6 = 39°$
- $\angle 3 = \angle 7 = 39°$
- $\angle 4 = \angle 8 = 39°$

Ответ: все углы равны 39°

Задание 2

Дано:
- $DM \parallel CE$
- $DE$ - биссектриса угла $CDM$
- $\angle 4 = 108°$

Решение:
1) Так как $DE$ - биссектриса угла $CDM$, то она делит этот угол пополам.

2) Обозначим: $\angle CDM = x$, тогда:
- $\angle CDE = \frac{x}{2}$ (т.к. $DE$ - биссектриса)

3) Так как $DM \parallel CE$, то:
- $\angle 4 + \angle 1 = 180°$ (смежные углы)
- $108° + \angle 1 = 180°$
- $\angle 1 = 72°$

4) В треугольнике $CDE$:
- $\angle 2 = 72°$ (как накрест лежащий с $\angle 1$ при параллельных прямых)
- $\angle 3 = 180° - 108° = 72°$ (внешний угол треугольника)

Ответ: углы треугольника $CDE$:
- $\angle CDE = 36°$
- $\angle DCE = 72°$
- $\angle CED = 72°$

Задание 1

Дано:
- Прямые $a \parallel b$
- $c$ - секущая
- $\angle 4 + \angle 6 = 78°$

Решение:
1) При пересечении параллельных прямых секущей образуются пары углов:
- Накрест лежащие углы равны
- Соответственные углы равны
- Сумма односторонних углов равна 180°

2) Из условия: $\angle 4 + \angle 6 = 78°$

3) Углы 4 и 6 являются односторонними. При этом:
- $\angle 4 = \angle 5$ (накрест лежащие)
- $\angle 3 = \angle 6$ (накрест лежащие)

4) Так как $\angle 4 + \angle 6 = 78°$ и эти углы равны (как накрест лежащие с равными углами), то:
- $\angle 4 = \angle 6 = 39°$

5) Используя свойства углов при параллельных прямых:
- $\angle 1 = \angle 5 = 39°$ (соответственные с $\angle 4$)
- $\angle 2 = \angle 6 = 39°$ (соответственные с $\angle 6$)
- $\angle 3 = \angle 7 = 39°$ (соответственные с $\angle 6$)
- $\angle 8 = \angle 4 = 39°$ (соответственные с $\angle 4$)

Ответ: все углы равны 39°

Задание 2

Дано:
- $DM \parallel CE$
- $DE$ - биссектриса угла $CDM$
- $\angle 4 = 108°$

Решение:
1) Так как $DE$ - биссектриса угла $CDM$, то:
- $\angle CDE = \angle MDE$
- $\angle CDM = 2\angle CDE$

2) В треугольнике $CDE$:
- $\angle 4 = 108°$ (по условию)
- $\angle DCE = 180° - 108° = 72°$ (смежные углы)

3) Так как $DM \parallel CE$:
- $\angle CDE = 36°$ (половина угла $CDM$ из-за биссектрисы)
- $\angle DCE = 72°$ (найдено в шаге 2)
- $\angle CED = 72°$ (т.к. сумма углов треугольника равна 180°)

Проверка: $36° + 72° + 72° = 180°$

Ответ: углы треугольника $CDE$:
- $\angle CDE = 36°$
- $\angle DCE = 72°$
- $\angle CED = 72°$