Задание 1. Определить угол между прямой AC и плоскостью BB₁D.

Дано:
- Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁
- ABCD - ромб
- BB₁ ⊥ ABC
- ∠ADC = 120°
- ∠AC₁BD = 0°
- AD = 6√3
- AA₁ = 9

Решение:

1) Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на эту плоскость.

2) Найдём проекцию прямой AC на плоскость BB₁D. Для этого нужно найти точку пересечения прямой AC с плоскостью BB₁D и построить перпендикуляр из точки C на эту плоскость.

3) Поскольку AC₁BD = 0°, то прямые AC₁ и BD параллельны. Это значит, что AC₁ лежит в плоскости, параллельной плоскости BB₁D.

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный прямой AC, её проекцией на плоскость BB₁D и перпендикуляром из точки C на эту плоскость.

5) Так как BB₁ ⊥ ABC, то BB₁ перпендикулярна плоскости ABC, а значит и прямой AC, которая лежит в этой плоскости.

6) Из условия, что ABCD - ромб с углом ADC = 120°, можно найти, что угол между диагоналями AC и BD равен 60°.

7) Поскольку BD лежит в плоскости BB₁D, а угол между AC и BD равен 60°, и учитывая, что AC₁ параллельна BD, получаем, что угол между прямой AC и плоскостью BB₁D равен 30°.

Ответ: угол между прямой AC и плоскостью BB₁D равен 30°.

Задание 2. Найти расстояние от точки C до плоскости BB₁D.

Дано:
- Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁
- ABCD - ромб
- BB₁ ⊥ ABC
- ∠ADC = 120°
- ∠AC₁BD = 0°
- AD = 6√3
- AA₁ = 9

Решение:

1) Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$, где $(x_0, y_0, z_0)$ - координаты точки, а $Ax + By + Cz + D = 0$ - уравнение плоскости.

2) Однако, в нашем случае удобнее использовать другой подход. Расстояние от точки C до плоскости BB₁D равно длине перпендикуляра, опущенного из точки C на эту плоскость.

3) Из задания 1 мы знаем, что угол между прямой AC и плоскостью BB₁D равен 30°.

4) Найдем длину AC. Поскольку ABCD - ромб с углом ADC = 120°, то AC - это диагональ ромба. Используя свойства ромба и данные AD = 6√3, получаем AC = 12.

5) Расстояние от точки C до плоскости BB₁D можно найти по формуле: $d = |\overrightarrow{AC}| \cdot \sin(\angle(AC, BB₁D))$

6) Подставляем значения: $d = 12 \cdot \sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$

Ответ: расстояние от точки C до плоскости BB₁D равно 6 единиц.