Задача: Доказать, что $(ADB)∠(ACB)=∠CHD$ и найти $∠CHD$

Дано:
- Треугольник $ABC$
- $∠C = 90°$
- $∠A = 30°$
- $AC = 10$ см
- $DC = 5\sqrt{3}$ см
- $CH ⊥ AB$
- $DC ⊥ (ABC)$

Решение:

а) Доказательство $(ADB)∠(ACB)=∠CHD$

1) Рассмотрим треугольник $ABC$. Поскольку $∠C = 90°$, это прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$.

2) Точка $H$ - это основание высоты, проведенной из вершины $C$ к стороне $AB$, т.е. $CH ⊥ AB$.

3) Точка $D$ лежит на высоте $DC$ к плоскости треугольника $ABC$, т.е. $DC ⊥ (ABC)$.

4) Угол $(ADB)$ - это двугранный угол между плоскостями $ADB$ и $ABC$.

5) Угол $(ACB)$ - это угол в треугольнике $ABC$ при вершине $C$, который равен $90°$.

6) По теореме о трех перпендикулярах: если прямая $DC$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а $CH$ перпендикулярна прямой $AB$ в этой плоскости, то линейный угол $∠CHD$ равен двугранному углу между плоскостями $ADB$ и $ABC$.

7) Таким образом, $(ADB)∠(ACB)=∠CHD$, что и требовалось доказать.

б) Нахождение $∠CHD$

1) В прямоугольном треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 90°$ и $∠A = 30°$, следовательно $∠B = 60°$ (сумма углов треугольника равна $180°$).

2) Найдем $AB$:
- В прямоугольном треугольнике $ABC$ с $∠C = 90°$
- $AC = 10$ см
- $∠A = 30°$
- Используя тригонометрию: $AB = \frac{AC}{\cos(∠A)} = \frac{10}{\cos(30°)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см

3) Найдем $BC$:
- $BC = AC \cdot \tan(∠A) = 10 \cdot \tan(30°) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см

4) Найдем $CH$:
- В прямоугольном треугольнике $ABC$, $CH$ - высота к гипотенузе $AB$
- $CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{10 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3}}{\frac{20\sqrt{3}}{3}} = \frac{100\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{20\sqrt{3}} = 5$ см

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$:
- $CH = 5$ см
- $DC = 5\sqrt{3}$ см
- Используя теорему Пифагора: $HD = \sqrt{DC^2 - CH^2} = \sqrt{(5\sqrt{3})^2 - 5^2} = \sqrt{75 - 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см

6) Найдем $∠CHD$ с помощью тригонометрии:
- $\tan(∠CHD) = \frac{HD}{CH} = \frac{5\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2}$
- $∠CHD = \arctan(\sqrt{2}) = 54.7°$

7) Более точное значение: $∠CHD = \arctan(\sqrt{2}) = 54.7356°$, что приблизительно равно $54°44'$

Ответ: $(ADB)∠(ACB)=∠CHD = \arctan(\sqrt{2}) ≈ 54.7°$