Задание 1

Задача: Плоскость пересекает вершины и рёбра координатного угла A, дано расположение и найти эти точки.

Для решения этой задачи нам нужно определить, что такое координатный угол A и как плоскость может пересекать его вершины и рёбра.

Координатный угол в трёхмерном пространстве - это область, образованная тремя координатными плоскостями (xy, yz, xz). Вершиной координатного угла является начало координат O(0,0,0), а рёбрами - положительные полуоси координат: Ox, Oy и Oz.

Если плоскость пересекает координатный угол, то она пересекает его рёбра в некоторых точках. Обозначим эти точки:
- A(a,0,0) - точка пересечения с осью Ox
- B(0,b,0) - точка пересечения с осью Oy
- C(0,0,c) - точка пересечения с осью Oz

Где a, b и c - некоторые положительные числа.

Уравнение плоскости, проходящей через эти точки, можно записать в виде:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Это уравнение плоскости в отрезках. Оно показывает, что плоскость отсекает от координатных осей отрезки длиной a, b и c соответственно.

Без дополнительных данных о расположении плоскости и конкретных значениях a, b и c, мы не можем найти конкретные координаты точек пересечения.

Задание 3

Дана таблица с вероятностями и функция распределения $y = F(x)$. Требуется найти математическое ожидание $M_Y$ и дисперсию $D_Y$.

Рассмотрим данную таблицу распределения случайной величины $X$:

Функция распределения задана как $y = F(x)$.

Шаг 1: Проверим, что сумма вероятностей равна 1

$0.2 + 0.3 + 0.3 + 0.2 = 1$ ✓

Шаг 2: Найдем значения функции распределения $y = F(x)$ для каждого $x_i$

Функция распределения $F(x)$ для дискретной случайной величины определяется как:
$F(x) = P(X < x) = \sum_{x_i < x} p_i$

Вычислим значения $y_i = F(x_i)$:
- $y_1 = F(2/3) = 0$ (нет значений меньше $2/3$)
- $y_2 = F(5/6) = 0.2$ (только $x_1 < 5/6$)
- $y_3 = F(7/6) = 0.5$ (значения $x_1$ и $x_2$ меньше $7/6$)
- $y_4 = F(3/2) = 0.8$ (значения $x_1$, $x_2$ и $x_3$ меньше $3/2$)

Шаг 3: Найдем математическое ожидание $M_Y$

Математическое ожидание дискретной случайной величины $Y$ вычисляется по формуле:
$M_Y = \sum y_i \cdot p_i$

$M_Y = 0 \cdot 0.2 + 0.2 \cdot 0.3 + 0.5 \cdot 0.3 + 0.8 \cdot 0.2 = 0 + 0.06 + 0.15 + 0.16 = 0.37$

Шаг 4: Найдем дисперсию $D_Y$

Дисперсия дискретной случайной величины $Y$ вычисляется по формуле:
$D_Y = M(Y^2) - (M_Y)^2$

Найдем $M(Y^2)$:
$M(Y^2) = \sum y_i^2 \cdot p_i = 0^2 \cdot 0.2 + 0.2^2 \cdot 0.3 + 0.5^2 \cdot 0.3 + 0.8^2 \cdot 0.2 = 0 + 0.012 + 0.075 + 0.128 = 0.215$

Теперь найдем дисперсию:
$D_Y = 0.215 - 0.37^2 = 0.215 - 0.1369 = 0.0781$

Ответ:

$M_Y = 0.37$
$D_Y = 0.0781$