Задача: Доказательство о параллельности прямой пересечения плоскостей

📝 Условие: Пусть прямые $l$ и $m$ параллельны, и через каждую из них проведено по одной плоскости. Докажите, что если эти плоскости пересекаются, то прямая их пересечения параллельна прямым $l$ и $m$.

Решение:

Шаг 1: Введем обозначения

Пусть $\alpha$ — плоскость, проходящая через прямую $l$, а $\beta$ — плоскость, проходящая через прямую $m$. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. Обозначим прямую их пересечения как $n$: $n = \alpha \cap \beta$.

Шаг 2: Анализ взаимного расположения прямых и плоскостей

По условию известно, что прямые $l$ и $m$ параллельны, то есть $l \parallel m$. Также известно, что $l$ лежит в плоскости $\alpha$, а $m$ лежит в плоскости $\beta$.

Шаг 3: Доказательство от противного

Предположим, что прямая $n$ не параллельна прямым $l$ и $m$. Тогда возможны два случая:

1) Прямая $n$ пересекает прямую $l$ в некоторой точке $P$.
2) Прямая $n$ пересекает прямую $m$ в некоторой точке $Q$.

Рассмотрим первый случай. Если $n$ пересекает $l$ в точке $P$, то точка $P$ принадлежит и прямой $l$, и прямой $n$. Поскольку $l \subset \alpha$ и $n \subset \alpha$, то $P \in \alpha$. Также, поскольку $n = \alpha \cap \beta$, то $P \in \beta$.

Таким образом, точка $P$ принадлежит и прямой $l$, и плоскости $\beta$. Но тогда возможны два варианта:
- Либо прямая $l$ лежит в плоскости $\beta$
- Либо прямая $l$ пересекает плоскость $\beta$ только в точке $P$

Первый вариант противоречит условию, так как тогда плоскости $\alpha$ и $\beta$ имели бы общую прямую $l$, а не только прямую $n$.

Второй вариант означает, что прямые $l$ и $m$ лежат в одной плоскости $\beta$. Поскольку $l \parallel m$, то прямые $l$ и $m$ не могут пересекаться. Но тогда прямая $l$ должна полностью лежать в плоскости $\beta$, что противоречит нашему предположению.

Аналогично рассматривается случай, когда $n$ пересекает $m$.

Шаг 4: Завершение доказательства

Поскольку мы пришли к противоречию, наше предположение неверно. Следовательно, прямая $n$ не пересекает ни $l$, ни $m$.

Прямая $n$ лежит в плоскости $\alpha$, которая содержит прямую $l$. По теореме о параллельности прямых в пространстве, если прямые не пересекаются и одна из них лежит в некоторой плоскости, то эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда вторая прямая параллельна этой плоскости. Поскольку $n$ не пересекает $l$ и обе лежат в плоскости $\alpha$, то $n \parallel l$.

Аналогично, $n \parallel m$, так как $n$ и $m$ лежат в плоскости $\beta$ и не пересекаются.

Таким образом, мы доказали, что прямая пересечения плоскостей $n$ параллельна прямым $l$ и $m$.

Вывод:

Если прямые $l$ и $m$ параллельны, и через каждую из них проведено по одной плоскости, то в случае пересечения этих плоскостей прямая их пересечения параллельна прямым $l$ и $m$.