Задача 89

Дано: MA ⊥ α, найти угол x

Решение:
1) На рисунке изображена прямая MA, перпендикулярная плоскости α
2) В плоскости α отмечен угол 30°
3) По теореме о трех перпендикулярах:
- Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и любой прямой в плоскости равен 90° - угол между проекцией и этой прямой
4) В данном случае: x = 90° - 30° = 60°

Ответ: 60°

Задача 90

Дано: MA ⊥ α, найти угол x

Решение:
1) На рисунке изображена прямая MA, перпендикулярная плоскости α
2) В плоскости α отмечен угол 25°
3) По теореме о трех перпендикулярах:
- Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и любой прямой в плоскости равен 90° - угол между проекцией и этой прямой
4) В данном случае: x = 90° - 25° = 65°

Ответ: 65°

Задача 91

Дано: MA ⊥ α, найти AB

Решение:
1) На рисунке изображена прямая MA, перпендикулярная плоскости α
2) Даны катеты прямоугольного треугольника: 15 и 17
3) По теореме Пифагора:
AB² = 17² - 15²
4) AB = √(289 - 225) = √64 = 8

Ответ: 8

Задача 90

Дано:
- MA ⊥ α (прямая MA перпендикулярна плоскости α)
- В плоскости α отмечен угол 25°
- Требуется найти угол x

Решение:

1) Рассмотрим геометрическую конфигурацию:
- Точка A - основание перпендикуляра MA к плоскости α
- В плоскости α проведена прямая
- Угол между проекцией MA на плоскость и данной прямой равен 25°

2) Применим теорему о трех перпендикулярах:
- Если прямая MA перпендикулярна плоскости α
- То угол между этой прямой и любой прямой в плоскости (обозначим его x)
- Связан с углом между проекцией и этой прямой (обозначим его β) соотношением:
x = 90° - β

3) Подставляем известное значение:
- β = 25°
- x = 90° - 25° = 65°

4) Проверка:
- Полученный угол x больше 0° и меньше 90° (что логично для угла между прямой и плоскостью)
- Сумма углов x и β равна 90°, что соответствует теореме

Ответ: 65°

💡 Важное замечание:
Теорема о трех перпендикулярах - одна из ключевых теорем стереометрии. Она позволяет находить углы между прямыми и плоскостями, что часто требуется при решении задач на построение и вычисление в пространственных фигурах.

📐 Формула для запоминания:
Если MA ⊥ α, то угол между MA и любой прямой в плоскости α равен 90° минус угол между проекцией MA на плоскость α и этой прямой.