Задание 3: Найти длину бокового ребра пирамиды по рисунку.

1. Анализ рисунка:

   • Дано: $AB = 40$, $\angle SOC = 30^{\circ}$, $\angle DOS = 60^{\circ}$.
   • $O$ - центр основания пирамиды, $ABCD$ - квадрат.
   • $SO$ - высота пирамиды.
   • Нужно найти длину бокового ребра, например, $SC$.

2. Находим $OC$:

   • $OC = \frac{1}{2}AC$. Так как $ABCD$ - квадрат, то $AC = AB\sqrt{2}$.
   • $AC = 40\sqrt{2}$.
   • $OC = \frac{40\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$.

3. Находим $SO$:

   • Рассмотрим $\triangle SOC$: $\angle SOC = 30^{\circ}$.
   • $\tan(\angle SOC) = \frac{SC}{OC}$.
   • $SO = OC \cdot \tan(30^{\circ}) = 20\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3}$.

4. Находим $SC$:

   • По теореме Пифагора для $\triangle SOC$: $SC^2 = SO^2 + OC^2$.
   • $SC^2 = \left(\frac{20\sqrt{6}}{3}\right)^2 + (20\sqrt{2})^2 = \frac{400 \cdot 6}{9} + 400 \cdot 2 = \frac{800}{3} + 800 = \frac{800 + 2400}{3} = \frac{3200}{3}$.
   • $SC = \sqrt{\frac{3200}{3}} = \sqrt{\frac{1600 \cdot 2}{3}} = \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: Длина бокового ребра пирамиды равна $\frac{40\sqrt{6}}{3}$.

Задание 4: Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого $16 \text{см}^2$. Найдите боковую поверхность цилиндра.

1. Анализ условия:

   • Осевое сечение цилиндра - квадрат.
   • Площадь квадрата равна $16 \text{см}^2$.
   • Нужно найти боковую поверхность цилиндра.

2. Находим сторону квадрата:

   • Пусть $a$ - сторона квадрата. Тогда $a^2 = 16$.
   • $a = \sqrt{16} = 4 \text{см}$.

3. Определяем параметры цилиндра:

   • Сторона квадрата является одновременно высотой цилиндра ($h$) и диаметром его основания ($d$).
   • $h = 4 \text{см}$.
   • $d = 4 \text{см}$, следовательно, радиус основания $r = \frac{d}{2} = 2 \text{см}$.

4. Находим боковую поверхность цилиндра:

   • Боковая поверхность цилиндра вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = 2\pi rh$.
   • $S_{\text{бок}} = 2 \pi (2 \text{см}) (4 \text{см}) = 16\pi \text{см}^2$.

Ответ: Боковая поверхность цилиндра равна $16\pi \text{см}^2$.

Задание 5: Медный прямоугольный параллелепипед, ребра которого равны 20 см, 20 см и 10 см, переплавлен в шар. Найдите радиус шара. (Примите $\pi \approx 3$)

1. Анализ условия:
   * Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами $a = 20$ см, $b = 20$ см, $c = 10$ см.
   * Параллелепипед переплавлен в шар.
   * Нужно найти радиус шара $R$.
   * $\pi \approx 3$

2. Находим объем параллелепипеда:
   * Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$.
   * $V = 20 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} \cdot 10 \text{ см} = 4000 \text{ см}^3$.

3. Находим объем шара:
   * Так как параллелепипед переплавлен в шар, то объем шара равен объему параллелепипеда.
   * $V_{\text{шара}} = V_{\text{параллелепипеда}} = 4000 \text{ см}^3$.

4. Находим радиус шара:
   * Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
   * $4000 = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot R^3$.
   * $4000 = 4R^3$.
   * $R^3 = \frac{4000}{4} = 1000$.
   * $R = \sqrt[3]{1000} = 10 \text{ см}$.

Ответ: Радиус шара равен 10 см.