Задание 5
В задаче требуется найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах (а) и (б).
(а) Найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах Оxyz. Образующие параллельны оси Oz, а направляющей является окружность $x^2 + y^2 = 4$, расположенная в плоскости $z = 3$.
Решение:
Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой (образующей) вдоль некоторой кривой (направляющей). При этом образующая всегда остается параллельной заданному направлению.
В нашем случае:
- Образующие параллельны оси Oz
- Направляющая - окружность $x^2 + y^2 = 4$ в плоскости $z = 3$
Поскольку образующие параллельны оси Oz, то при движении вдоль образующей меняется только координата z, а координаты x и y остаются неизменными. Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности будет:
$x^2 + y^2 = 4$
Это круговой цилиндр с радиусом 2, ось которого совпадает с осью Oz. Координата z может принимать любые значения, поэтому она не входит в уравнение поверхности.
(б) Найти цилиндрическую поверхность, которая задается в пунктах Оxyz. Образующие параллельны вектору $\vec{a} = (1, 1, 1)$, а направляющей является окружность $x^2 + y^2 = 4$, расположенная в плоскости $z = 0$.
Решение:
В этом случае образующие параллельны вектору $\vec{a} = (1, 1, 1)$, а не оси Oz. Направляющая - окружность $x^2 + y^2 = 4$ в плоскости $z = 0$.
Для нахождения уравнения такой поверхности, нужно параметризовать точки на направляющей и затем добавить параметрическое уравнение прямой, проходящей через эти точки в направлении вектора $\vec{a}$.
Точки на направляющей (окружности в плоскости $z = 0$) можно записать как:
$(x_0, y_0, 0)$, где $x_0^2 + y_0^2 = 4$
Точки на образующей, проходящей через точку $(x_0, y_0, 0)$ в направлении вектора $\vec{a} = (1, 1, 1)$, имеют вид:
$(x_0 + t, y_0 + t, t)$, где $t$ - параметр
Это означает, что для любой точки $(x, y, z)$ на цилиндрической поверхности существует параметр $t$ такой, что:
$x = x_0 + t$
$y = y_0 + t$
$z = t$
Отсюда получаем:
$x_0 = x - z$
$y_0 = y - z$
Подставляя эти выражения в уравнение окружности $x_0^2 + y_0^2 = 4$, получаем:
$(x - z)^2 + (y - z)^2 = 4$
Это и есть уравнение искомой цилиндрической поверхности.
