Задание 5

На изображении представлен треугольник ABC, в котором:
- Точка M находится на стороне AB
- Высота от вершины A к стороне BC равна 8 см
- Угол ABM равен 60°

Необходимо найти длину отрезка AM.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC:

1) Обозначим высоту от точки A к стороне BC как h = 8 см.

2) Точка M лежит на стороне AB, и угол ABM = 60°.

3) Заметим, что в треугольнике ABM:
- Угол ABM = 60°
- Угол BAM = 90° (так как M лежит на AB, а от точки A опущена высота к BC, которая перпендикулярна BC)

4) Таким образом, треугольник ABM - прямоугольный с углами 90°, 60° и 30°.

5) В прямоугольном треугольнике с углами 30°, 60° и 90°:
- Катет, лежащий против угла в 30° (в нашем случае AM), равен половине гипотенузы (AB)
- Катет, лежащий против угла в 60° (в нашем случае BM), равен произведению гипотенузы на $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

6) Из прямоугольного треугольника ABC с высотой h = 8 см:
- Площадь треугольника ABC можно выразить как $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot 8$

7) Поскольку треугольник ABM прямоугольный с углом 60°, то AM = $\frac{AB}{2}$

8) Из прямоугольного треугольника ABM с углом 60°:
- $\sin(60°) = \frac{h}{AB} = \frac{8}{AB}$
- $AB = \frac{8}{\sin(60°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$

9) Следовательно, $AM = \frac{AB}{2} = \frac{16\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $AM = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.