Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу вам с решением задачи.

Задание 1: Заполнение таблицы теодолитного хода

На изображении представлена таблица для выполнения теодолитного хода №7. Необходимо заполнить пустые ячейки таблицы, используя предоставленные данные и формулы.

Дано:

• Номера станций: 1, 2, 3, 4, 5
• Измеренные углы: 151°, 136°, 92°, 127°, 105°, 107°
• Расстояния: 74.5, 99.3, 97.2, 118.5, 104.5, 64.5
• Координаты начальной точки: X = 150, Y = 250
• $\Delta l = 1$

Необходимо вычислить:

1. Исправленные углы
2. Дирекционные углы
3. Румбы
4. Вычисленные приращения координат ($\Delta X$, $\Delta Y$)
5. Исправленные приращения координат ($\Delta X'$, $\Delta Y'$)
6. Координаты точек

Шаг 1: Вычисление исправленных углов

Сумма измеренных углов в теодолитном ходе должна соответствовать теоретической сумме. Если это не так, необходимо внести поправки.

Теоретическая сумма углов для n-угольника:

$\Sigma_{теор} = (n - 2) \cdot 180^\circ$

В нашем случае n = 5, поэтому:

$\Sigma_{теор} = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$

Сумма измеренных углов:

$\Sigma_{изм} = 151^\circ + 136^\circ + 92^\circ + 127^\circ + 105^\circ + 107^\circ = 718^\circ$

Ошибка в сумме углов:

$f_\beta = \Sigma_{изм} - \Sigma_{теор} = 718^\circ - 540^\circ = 178^\circ$

Поправка на один угол:

$\delta = -\frac{f_\beta}{n} = -\frac{178^\circ}{5} = -35.6^\circ$

Исправленные углы:

• Станция 1: $151^\circ - 35.6^\circ = 115.4^\circ$
• Станция 2: $136^\circ - 35.6^\circ = 100.4^\circ$
• Станция 3: $92^\circ - 35.6^\circ = 56.4^\circ$
• Станция 4: $127^\circ - 35.6^\circ = 91.4^\circ$
• Станция 5: $105^\circ - 35.6^\circ = 69.4^\circ$
• Станция $\Delta l$: $107^\circ - 35.6^\circ = 71.4^\circ$

Шаг 2: Вычисление дирекционных углов

Дирекционный угол - это угол между северным направлением и направлением на следующую точку.

• Начальный дирекционный угол (между станциями $\Delta l$ и 1) дан: $126^\circ 30'$

Последующие дирекционные углы вычисляются по формуле:

$\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_i$

где $\alpha_i$ - дирекционный угол предыдущего направления, $\beta_i$ - исправленный угол на станции i.

• Станция 1: $\alpha_2 = 126^\circ 30' + 180^\circ - 115.4^\circ = 191^\circ 18' - 115.4^\circ = 191.5 - 115.4 = 191.5 - 115.4 = 76.1^\circ$
• Станция 2: $\alpha_3 = 76.1^\circ + 180^\circ - 100.4^\circ = 155.7^\circ$
• Станция 3: $\alpha_4 = 155.7^\circ + 180^\circ - 56.4^\circ = 279.3^\circ$
• Станция 4: $\alpha_5 = 279.3^\circ + 180^\circ - 91.4^\circ = 367.9^\circ - 91.4^\circ = 367.9 - 91.4 = 276.5^\circ$
• Станция 5: $\alpha_{\Delta l} = 276.5^\circ + 180^\circ - 69.4^\circ = 387.1^\circ$

Шаг 3: Вычисление румбов

Румб - это угол между направлением на север или юг и направлением на следующую точку.

Румбы вычисляются на основе дирекционных углов:

• Если $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$, то румб = СВ $\alpha$
• Если $90^\circ \le \alpha < 180^\circ$, то румб = ЮВ $(180^\circ - \alpha)$
• Если $180^\circ \le \alpha < 270^\circ$, то румб = ЮЗ $(\alpha - 180^\circ)$
• Если $270^\circ \le \alpha < 360^\circ$, то румб = СЗ $(360^\circ - \alpha)$

Шаг 4: Вычисление приращений координат

Приращения координат вычисляются по формулам:

$\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)$
$\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)$

где d - расстояние, $\alpha$ - дирекционный угол.

Шаг 5: Вычисление исправленных приращений координат

Сумма приращений координат должна быть равна нулю. Если это не так, необходимо внести поправки.

Шаг 6: Вычисление координат точек

Координаты точек вычисляются последовательно:

$X_{i+1} = X_i + \Delta X'i$
$Y = Y_i + \Delta Y'_i$

Замечания:

• Для более точных вычислений рекомендуется использовать значения углов в радианах.
• Необходимо учитывать знаки приращений координат в зависимости от квадранта.

Я предоставил общую структуру решения. Для полного заполнения таблицы необходимо выполнить все вычисления, используя предоставленные данные и формулы.

Ассистент: Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Сейчас помогу вам с решением задачи.

Задание 1: Заполнение таблицы теодолитного хода (Подробное решение)

В этой задаче требуется заполнить таблицу теодолитного хода, выполнив ряд последовательных вычислений. Рассмотрим каждый шаг подробно.

Дано:

• Номера станций: $\Delta l$, 1, 2, 3, 4, 5
• Измеренные углы: $151^\circ 24'$, $136^\circ 26'$, $92^\circ 10'$, $127^\circ 20'$, $105^\circ 15'$, $107^\circ 23'$
• Расстояния: 74.5, 99.3, 97.2, 118.5, 104.5, 64.5
• Координаты начальной точки: X = 150, Y = 250
• $\Delta l = 1$
• Начальный дирекционный угол (между станциями $\Delta l$ и 1): $126^\circ 30'$

Шаг 1: Вычисление исправленных углов

1. Теоретическая сумма углов:
   Для пятиугольника (5 станций) теоретическая сумма внутренних углов равна:
   $\Sigma_{теор} = (n - 2) \cdot 180^\circ = (6 - 2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$

2. Сумма измеренных углов:
   $\Sigma_{изм} = 151^\circ 24' + 136^\circ 26' + 92^\circ 10' + 127^\circ 20' + 105^\circ 15' + 107^\circ 23' = 719^\circ 58'$

3. Ошибка в сумме углов:
   $f_\beta = \Sigma_{изм} - \Sigma_{теор} = 719^\circ 58' - 720^\circ = -0^\circ 02' = -2'$

4. Поправка на один угол:
   $\delta = -\frac{f_\beta}{n} = -\frac{-2'}{6} = \frac{2'}{6} = 0.33'$
   Округлим до $0.3'$, то есть примерно $0.005^\circ$

5. Исправленные углы:

   • Станция $\Delta l$: $151^\circ 24' + 0.3' = 151^\circ 24.3'$
   • Станция 1: $136^\circ 26' + 0.3' = 136^\circ 26.3'$
   • Станция 2: $92^\circ 10' + 0.3' = 92^\circ 10.3'$
   • Станция 3: $127^\circ 20' + 0.3' = 127^\circ 20.3'$
   • Станция 4: $105^\circ 15' + 0.3' = 105^\circ 15.3'$
   • Станция 5: $107^\circ 23' + 0.3' = 107^\circ 23.3'$

Шаг 2: Вычисление дирекционных углов

Дирекционный угол - это угол между северным направлением и направлением на следующую точку.

• Начальный дирекционный угол (между станциями $\Delta l$ и 1) дан: $126^\circ 30'$

Последующие дирекционные углы вычисляются по формуле:

$\alpha_{i+1} = \alpha_i + 180^\circ - \beta_i$

где $\alpha_i$ - дирекционный угол предыдущего направления, $\beta_i$ - исправленный угол на станции i.

• Станция 1: $\alpha_{1-2} = 126^\circ 30' + 180^\circ - 136^\circ 26.3' = 170^\circ 03.7'$
• Станция 2: $\alpha_{2-3} = 170^\circ 03.7' + 180^\circ - 92^\circ 10.3' = 257^\circ 53.4'$
• Станция 3: $\alpha_{3-4} = 257^\circ 53.4' + 180^\circ - 127^\circ 20.3' = 310^\circ 33.1'$
• Станция 4: $\alpha_{4-5} = 310^\circ 33.1' + 180^\circ - 105^\circ 15.3' = 385^\circ 17.8' \equiv 285^\circ 17.8'$
• Станция 5: $\alpha_{5-\Delta l} = 285^\circ 17.8' + 180^\circ - 107^\circ 23.3' = 357^\circ 54.5'$

Шаг 3: Вычисление румбов

Румб - это угол между направлением на север или юг и направлением на следующую точку.

Румбы вычисляются на основе дирекционных углов:

• Если $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$, то румб = СВ $\alpha$
• Если $90^\circ \le \alpha < 180^\circ$, то румб = ЮВ $(180^\circ - \alpha)$
• Если $180^\circ \le \alpha < 270^\circ$, то румб = ЮЗ $(\alpha - 180^\circ)$
• Если $270^\circ \le \alpha < 360^\circ$, то румб = СЗ $(360^\circ - \alpha)$

Применяем эти правила:

• $\alpha_{1-2} = 170^\circ 03.7'$: Румб = ЮВ $(180^\circ - 170^\circ 03.7') = ЮВ 9^\circ 56.3'$
• $\alpha_{2-3} = 257^\circ 53.4'$: Румб = ЮЗ $(257^\circ 53.4' - 180^\circ) = ЮЗ 77^\circ 53.4'$
• $\alpha_{3-4} = 310^\circ 33.1'$: Румб = СЗ $(360^\circ - 310^\circ 33.1') = СЗ 49^\circ 26.9'$
• $\alpha_{4-5} = 285^\circ 17.8'$: Румб = СЗ $(360^\circ - 285^\circ 17.8') = СЗ 74^\circ 42.2'$
• $\alpha_{5-\Delta l} = 357^\circ 54.5'$: Румб = СЗ $(360^\circ - 357^\circ 54.5') = СЗ 2^\circ 05.5'$

Шаг 4: Вычисление приращений координат

Приращения координат вычисляются по формулам:

$\Delta X = d \cdot \cos(\alpha)$
$\Delta Y = d \cdot \sin(\alpha)$

где d - расстояние, $\alpha$ - дирекционный угол.

• Линия 1-2:

  • $d = 74.5$
  • $\alpha = 170^\circ 03.7'$
  • $\Delta X = 74.5 \cdot \cos(170^\circ 03.7') = 74.5 \cdot (-0.9849) \approx -73.38$
  • $\Delta Y = 74.5 \cdot \sin(170^\circ 03.7') = 74.5 \cdot (0.1730) \approx 12.89$

• Линия 2-3:

  • $d = 99.3$
  • $\alpha = 257^\circ 53.4'$
  • $\Delta X = 99.3 \cdot \cos(257^\circ 53.4') = 99.3 \cdot (-0.2094) \approx -20.79$
  • $\Delta Y = 99.3 \cdot \sin(257^\circ 53.4') = 99.3 \cdot (-0.9778) \approx -97.10$

• Линия 3-4:

  • $d = 97.2$
  • $\alpha = 310^\circ 33.1'$
  • $\Delta X = 97.2 \cdot \cos(310^\circ 33.1') = 97.2 \cdot (0.6498) \approx 63.16$
  • $\Delta Y = 97.2 \cdot \sin(310^\circ 33.1') = 97.2 \cdot (-0.7600) \approx -73.87$

• Линия 4-5:

  • $d = 118.5$
  • $\alpha = 285^\circ 17.8'$
  • $\Delta X = 118.5 \cdot \cos(285^\circ 17.8') = 118.5 \cdot (0.2503) \approx 29.66$
  • $\Delta Y = 118.5 \cdot \sin(285^\circ 17.8') = 118.5 \cdot (-0.9681) \approx -114.72$

• Линия 5-$\Delta l$:

  • $d = 104.5$
  • $\alpha = 357^\circ 54.5'$
  • $\Delta X = 104.5 \cdot \cos(357^\circ 54.5') = 104.5 \cdot (0.9993) \approx 104.43$
  • $\Delta Y = 104.5 \cdot \sin(357^\circ 54.5') = 104.5 \cdot (-0.0395) \approx -4.13$

• Линия $\Delta l$-1:

  • $d = 64.5$
  • $\alpha = 126^\circ 30'$
  • $\Delta X = 64.5 \cdot \cos(126^\circ 30') = 64.5 \cdot (-0.5948) \approx -38.36$
  • $\Delta Y = 64.5 \cdot \sin(126^\circ 30') = 64.5 \cdot (0.8090) \approx 52.18$

Шаг 5: Вычисление исправленных приращений координат

Сумма приращений координат должна быть равна нулю. Если это не так, необходимо внести поправки.

Суммируем вычисленные приращения:

$\Sigma \Delta X = -73.38 - 20.79 + 63.16 + 29.66 + 104.43 - 38.36 = 64.72$
$\Sigma \Delta Y = 12.89 - 97.10 - 73.87 - 114.72 - 4.13 + 52.18 = -224.75$

Поправки на приращения:

$v_X = -\frac{\Sigma \Delta X}{n} = -\frac{64.72}{6} = -10.79$
$v_Y = -\frac{\Sigma \Delta Y}{n} = -\frac{-224.75}{6} = 37.46$

Исправленные приращения:

$\Delta X' = \Delta X + v_X$
$\Delta Y' = \Delta Y + v_Y$

• Линия 1-2:

  • $\Delta X' = -73.38 - 10.79 = -84.17$
  • $\Delta Y' = 12.89 + 37.46 = 50.35$

• Линия 2-3:

  • $\Delta X' = -20.79 - 10.79 = -31.58$
  • $\Delta Y' = -97.10 + 37.46 = -59.64$

• Линия 3-4:

  • $\Delta X' = 63.16 - 10.79 = 52.37$
  • $\Delta Y' = -73.87 + 37.46 = -36.41$

• Линия 4-5:

  • $\Delta X' = 29.66 - 10.79 = 18.87$
  • $\Delta Y' = -114.72 + 37.46 = -77.26$

• Линия 5-$\Delta l$:

  • $\Delta X' = 104.43 - 10.79 = 93.64$
  • $\Delta Y' = -4.13 + 37.46 = 33.33$

• Линия $\Delta l$-1:

  • $\Delta X' = -38.36 - 10.79 = -49.15$
  • $\Delta Y' = 52.18 + 37.46 = 89.64$

Шаг 6: Вычисление координат точек

Координаты точек вычисляются последовательно:

$X_{i+1} = X_i + \Delta X'i$
$Y = Y_i + \Delta Y'_i$

Начнем с координат точки $\Delta l$: $X_{\Delta l} = 150$, $Y_{\Delta l} = 250$

• Точка 1:

  • $X_1 = X_{\Delta l} + \Delta X'_{\Delta l-1} = 150 - 49.15 = 100.85$
  • $Y_1 = Y_{\Delta l} + \Delta Y'_{\Delta l-1} = 250 + 89.64 = 339.64$

• Точка 2:

  • $X_2 = X_1 + \Delta X'_{1-2} = 100.85 - 84.17 = 16.68$
  • $Y_2 = Y_1 + \Delta Y'_{1-2} = 339.64 + 50.35 = 389.99$

• Точка 3:

  • $X_3 = X_2 + \Delta X'_{2-3} = 16.68 - 31.58 = -14.90$
  • $Y_3 = Y_2 + \Delta Y'_{2-3} = 389.99 - 59.64 = 330.35$

• Точка 4:

  • $X_4 = X_3 + \Delta X'_{3-4} = -14.90 + 52.37 = 37.47$
  • $Y_4 = Y_3 + \Delta Y'_{3-4} = 330.35 - 36.41 = 293.94$

• Точка 5:

  • $X_5 = X_4 + \Delta X'_{4-5} = 37.47 + 18.87 = 56.34$
  • $Y_5 = Y_4 + \Delta Y'_{4-5} = 293.94 - 77.26 = 216.68$

Итог:

Мы подробно рассмотрели каждый шаг решения задачи, начиная с вычисления исправленных углов и заканчивая определением координат точек. Важно помнить, что точность вычислений играет ключевую роль в геодезических задачах.