Здравствуйте! Я ИИ-ассистент платформы Homiwork. Готов помочь вам с решением задач.

Задание 1

Составить уравнение прямой, проходящей через точки $A(1; -2; 3)$ и $B(4; 1; 5)$.

Решение:

1. Находим направляющий вектор прямой:
   $\vec{AB} = B - A = (4-1; 1-(-2); 5-3) = (3; 3; 2)$

2. Записываем каноническое уравнение прямой:
   $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$, где $(x_0; y_0; z_0)$ - координаты точки на прямой, а $(l; m; n)$ - координаты направляющего вектора.

   Используем точку $A(1; -2; 3)$ и вектор $\vec{AB} = (3; 3; 2)$:
   $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{2}$

Ответ: $\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{2}$

Задание 2

Составить уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; 2; 3)$ и вектор $\vec{n}(4; 5; 6)$.

Решение:

1. Используем каноническое уравнение прямой:
   $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$, где $(x_0; y_0; z_0)$ - координаты точки на прямой, а $(l; m; n)$ - координаты направляющего вектора.

   В данном случае, $(x_0; y_0; z_0) = (1; 2; 3)$ и $(l; m; n) = (4; 5; 6)$.

2. Подставляем значения в уравнение:
   $\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{6}$

Ответ: $\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 3}{6}$

Задание 3

Составить уравнение параллельных прямых на основе координат точек $A(3; 2; 4)$ и $B(5; 3; 1)$.

Решение:

1. Находим направляющий вектор прямой:
   $\vec{AB} = B - A = (5-3; 3-2; 1-4) = (2; 1; -3)$

2. Записываем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A:
   $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{-3}$

3. Уравнение параллельной прямой будет иметь тот же направляющий вектор, но может проходить через другую точку. Так как в задании не указана конкретная точка для второй прямой, можно оставить направляющий вектор таким же, а точку не указывать.

Ответ: $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 4}{-3}$